AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2012 — Remplacement, 13 septembre 2012

Lecture graphique et équation différentielle, tirages et loi binomiale, suite récurrente d'approximation de $\sqrt{7}$ , vrai-faux de complexes et d'espace, vrai-faux d'arithmétique et de similitudes · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice identifie sur un graphique les courbes de $f'$ et d'une primitive de $f$ , puis exploite la relation $f(x) - 2f'(x) = x$ en se ramenant à l'équation $y' = \frac{1}{2}y$ pour déterminer $f$ . Le deuxième calcule des probabilités pour des tirages avec ou sans remise, dont une probabilité conditionnelle inversée, puis utilise une loi binomiale et un seuil. Le troisième étudie la suite $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{7}{u_n}\right)$ , démontre qu'elle converge vers $\sqrt{7}$ et contrôle l'erreur à l'aide de la suite $d_{n+1} = \frac{1}{2}d_n^2$ et d'un algorithme. Le quatrième exercice est, au choix, un vrai-faux sur les nombres complexes et la géométrie dans l'espace, ou, pour la spécialité, un vrai-faux sur une équation diophantienne, un reste modulo 7 et des similitudes.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Lecture graphique de la dérivée et d'une primitive, équation différentielle p. 1–2

Équations différentielles linéaires · Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment — tableau de variations, courbe de la dérivée, primitive, $f(x) - 2f'(x) = x$ , $y' = \frac{1}{2}y$ , solution affine particulière

Exercice 2 — Tirages avec et sans remise, probabilité conditionnelle et loi binomiale p. 2

Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale — tirage sans remise, arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle inversée, loi binomiale, $q_n = 1 - \left(\frac{4}{n+4}\right)^4$ , seuil

Exercice 3 — Suite récurrente convergeant vers $\sqrt{7}$ et majoration de l'erreur p. 2–3

Suites numériques · Dérivabilité · Points fixes et suites itératives · Méthode de Newton · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{7}{u_n}\right)$ , minimum d'une fonction, suite décroissante minorée, $u_{n+1} - \sqrt{7} = \frac{(u_n - \sqrt{7})^2}{2u_n}$ , raisonnement par récurrence, valeur approchée de $\sqrt{7}$ , algorithme

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux de nombres complexes et de géométrie dans l'espace p. 3–4

Nombres complexes · Géométrie vectorielle dans l'espace — vrai-faux, ensemble de points défini par des modules, homothétie, image d'une droite, position relative d'une droite et d'un plan, position relative d'une sphère et d'un plan

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux d'arithmétique et de similitudes p. 4–5

PGCD, Bézout, Gauss · Congruences et Z/nZ · Nombres complexes · Géométrie affine et euclidienne — vrai-faux, équation $5x + 6y = 3$ , reste de $3^{2012}$ modulo 7, rotation, similitude directe, composée

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Dérivabilité Exponentielle et logarithme Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Théorème de définition par récurrence Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espaces vectoriels et sous-espaces PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ