AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2014 — Remplacement, 11 septembre 2014

Étude de fonction et aire, loi exponentielle et approximation normale d'une loi binomiale, suites géométriques et algorithme, tétraèdre régulier, matrices et répartition à long terme · 10 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice détermine le paramètre $a$ de $f(x) = x + 1 + ax\mathrm{e}^{-x^2}$ par une condition de tangence, localise un zéro de $f$ et calcule une intégrale qui approche une aire. Le deuxième exercice modélise un temps d'attente par une loi exponentielle, puis le nombre de clients ayant réservé qui se présentent par une loi binomiale approchée par une loi normale. Le troisième exercice étudie l'élimination d'un médicament par une suite géométrique, un protocole de réinjection décrit par un algorithme, puis la suite $w_{n+1} = 0{,}8w_n + 1$ . Le quatrième exercice démontre qu'un tétraèdre est régulier pour les non-spécialistes, et étudie pour les spécialistes la répartition de souris entre deux compartiments par $M^n = PD^nP^{-1}$ ; le fichier reproduit le sujet deux fois (pages 1 à 5 et 6 à 10).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction à paramètre, tangente, théorème des valeurs intermédiaires et calcul d'intégrale p. 1–2

Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme — $f(x) = x + 1 + ax\mathrm{e}^{-x^2}$ , tangente, lecture graphique, théorème des valeurs intermédiaires, aire, primitive

Exercice 2 — Loi exponentielle, loi binomiale et approximation par une loi normale p. 2–3

Loi exponentielle · Lois de Bernoulli et binomiale · Loi normale et vecteurs gaussiens · Théorème central limite et convergence en loi — temps d'attente, durée de vie sans vieillissement, espérance et écart-type, approximation normale, surréservation

Exercice 3 — Suites géométriques et arithmético-géométriques, algorithme de réinjection p. 3–4

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — suite géométrique, $w_{n+1} = 0{,}8w_n + 1$ , $z_n = w_n - 5$ , algorithme, seuil, limite

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Tétraèdre régulier : plan, droite et triangle équilatéral p. 4–5

Géométrie vectorielle dans l'espace — tétraèdre régulier, équation cartésienne d'un plan, représentation paramétrique, triangle équilatéral, centre du cercle circonscrit

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Matrices, diagonalisation et répartition à long terme p. 5

Calcul matriciel · Diagonalisation · Suites numériques — $U_{n+1} = MU_n$ , $P^{-1}MP = D$ , $M^n = PD^nP^{-1}$ , matrice diagonale, répartition à long terme

Dans l'édifice

Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Exponentielle et logarithme Lois de Poisson et loi exponentielle Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition La loi normale Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Matrices d'une application linéaire Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ