AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2015 — Remplacement, 9 septembre 2015 (Métropole, La Réunion)

QCM de probabilités et statistique, suite d'intégrales et méthode des rectangles, droites non coplanaires ou chiffrement affine, primitive et aire avec le logarithme · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un QCM qui balaie un arbre pondéré, la loi exponentielle de paramètre $\frac{\ln 2}{30}$ , la loi normale, l'intervalle de fluctuation et la taille d'échantillon pour un intervalle de confiance. Le deuxième exercice montre que la suite $I_n = \int_0^n \frac{x}{\mathrm{e}^{x} - x}\,\mathrm{d}x$ est croissante et majorée par 2, donc convergente, puis interprète un algorithme comme une somme d'aires de rectangles. Au choix, les non-spécialistes étudient deux droites non coplanaires et minimisent la distance $MN$ , et les spécialistes résolvent l'équation $15x - 26k = m$ pour construire et inverser un chiffrement affine modulo 26. Le dernier exercice identifie graphiquement une primitive de $f(x) = \frac{1 + \ln x}{x}$ et s'en sert pour évaluer une aire.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — QCM : probabilités totales, lois exponentielle et normale, fluctuation et confiance p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Loi exponentielle · Loi normale et vecteurs gaussiens · Statistique : estimation et tests — questionnaire à choix multiples, arbre pondéré, demi-vie du césium 137, $\lambda = \frac{\ln 2}{30}$ , intervalle de fluctuation asymptotique, taille d'un échantillon pour un intervalle de confiance

Exercice 2 — Suite d'intégrales croissante et majorée, méthode des rectangles par algorithme p. 2–6

Intégrale sur un segment · Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Informatique et algorithmique · Quadrature numérique — $f(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^{x} - x}$ , $I_n = \int_0^n f(x)\,\mathrm{d}x$ , suite croissante majorée, majoration de l'intégrande, primitive de $x\mathrm{e}^{-x}$ , méthode des rectangles

Exercice 3 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Droites non coplanaires, plan orthogonal et distance minimale p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — représentation paramétrique, droites non coplanaires, plan orthogonal à une droite, perpendiculaire commune, distance minimale, minimum d'un trinôme

Exercice 3 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Équation diophantienne et chiffrement affine modulo 26 p. 3–4

PGCD, Bézout, Gauss · Cryptographie — théorème de Bézout, $15x - 26k = m$ , équation diophantienne, chiffrement affine, $x \equiv 7y + 3 \pmod{26}$ , décodage, injectivité du codage

Exercice 4 — Primitive de $\frac{1 + \ln x}{x}$ reconnue graphiquement et calcul d'aire p. 4–5

Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité — $f(x) = \frac{1}{x}(1 + \ln x)$ , primitive, lecture graphique, signe de la fonction et variations de la primitive, aire sous une courbe, valeur exacte d'une aire

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Lois de Poisson et loi exponentielle La loi normale Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Théorème de définition par récurrence Théorème du point fixe de Banach Espaces vectoriels et sous-espaces Anneaux de polynômes PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ Dérivabilité