AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2017 — Session normale, 21 juin 2017 (Métropole, La Réunion)

Fonctions exponentielle et logarithme, primitive et aire entre deux courbes, distance d'un point à un plan, complexes et loi normale (détection de la foudre), arbre et suites (épidémie) ou triangles rectangles presque isocèles et matrices · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $h(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ et en trouve une primitive, puis compare les courbes de $f(x) = x\mathrm{e}^{-x} + \ln(x+1)$ et $g(x) = \ln(x+1)$ : écart maximal, aire $\mathcal{A}_\lambda = 1 - \frac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}$ et sa limite, et algorithme de seuil. Le deuxième calcule la distance du point $A(1 ; a ; a^2)$ au plan $2x - z - 3 = 0$ et cherche si elle peut être minimale. Le troisième repère des impacts de foudre par le module et l'argument d'un complexe, puis modélise l'imprécision du capteur par deux lois normales indépendantes. Au choix, les non-spécialistes étudient une épidémie par un arbre pondéré, un tableur et des suites, dont $v_n = \frac{1}{4}\left(0{,}85^n - 0{,}65^n\right)$ obtenue par récurrence, et les spécialistes caractérisent les triangles rectangles presque isocèles par $y^2 = 2x^2 + 2x + 1$ puis construisent par une relation matricielle une suite de tels triangles, dont un de côtés supérieurs à 2017.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonctions $x\mathrm{e}^{-x}$ et $\ln(x+1)$ : primitive, écart maximal, aire entre deux courbes et algorithme p. 1–8

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Limites de fonctions et asymptotes · Informatique et algorithmique — $h(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ , primitive, distance maximale entre deux courbes, aire entre deux courbes, $\mathcal{A}_\lambda = 1 - \frac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}$ , algorithme de seuil

Exercice 2 — Distance d'un point à un plan et projeté orthogonal p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace · Second degré — $2x - z - 3 = 0$ , droite orthogonale à un plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan, minimum

Exercice 3 — Module et argument d'un complexe, lois normales indépendantes (détection de la foudre) p. 3–4

Nombres complexes · Loi normale et vecteurs gaussiens · Conditionnement et indépendance — forme exponentielle, module et argument, $z = 70\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ , loi normale $\mathcal{N}(50 ; 5^2)$ , événements indépendants, secteur angulaire

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Modèle d'épidémie : arbre pondéré, tableur et suites p. 4–6

Probabilités totales et formule de Bayes · Suites numériques · Informatique et algorithmique — arbre pondéré, probabilité conditionnelle, $u_{n+1} = 0{,}85u_n$ , $v_{n+1} = 0{,}65v_n + 0{,}05u_n$ , raisonnement par récurrence, pic épidémique, feuille de calcul

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Triangles rectangles presque isocèles : équation diophantienne, parité, nombres premiers entre eux et matrices p. 7

PGCD, Bézout, Gauss · Calcul matriciel · Suites numériques — $y^2 = 2x^2 + 2x + 1$ , équation diophantienne, parité, nombres premiers entre eux, relation matricielle, raisonnement par récurrence

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Anneaux de polynômes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle La loi normale Indépendance d'événements et de tribus Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Matrices d'une application linéaire