AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2024 — Jour 1, 19 juin 2024 (Métropole, Antilles-Guyane)

Vrai-faux (asymptote, équation différentielle, suites encadrées), satisfaction clients : Bayes, loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev, tétraèdre et projeté orthogonal, fonction $x - 2 + \frac{1}{2}\ln x$ et calcul d'aire · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un vrai-faux sur la fonction $5x\mathrm{e}^{-x}$ (asymptote, solution de $y' + y = 5\mathrm{e}^{-x}$ ) et sur des suites encadrées. Le deuxième utilise un arbre à trois branches et la formule de Bayes, une loi binomiale pour un échantillon de 30 clients, une inéquation sur la taille d'échantillon, puis l'espérance et la variance d'une somme de durées et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le troisième détermine le projeté orthogonal $H$ de $B$ sur le plan $(CAD)$ , calcule le volume du tétraèdre $ABCH$ et en déduit la distance de $H$ au plan $(ABC)$ . Le quatrième étudie $f(x) = x - 2 + \frac{1}{2}\ln x$ et sa racine $\alpha$ , s'en sert pour les variations de $g(x) = -\frac{7}{8}x^2 + x - \frac{1}{4}x^2\ln x$ , puis calcule par intégration l'aire entre la courbe de $g$ et une parabole.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Vrai-faux : asymptote, équation différentielle et suites encadrées p. 1

Suites numériques · Équations différentielles linéaires · Limites de fonctions et asymptotes · Fonctions exponentielle et logarithme — vrai-faux, $f(x) = 5x\mathrm{e}^{-x}$ , asymptote horizontale, $y' + y = 5\mathrm{e}^{-x}$ , $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ , suite encadrée, suites monotones

Exercice 2 — Satisfaction des clients : formule de Bayes, loi binomiale, somme de variables et Bienaymé-Tchebychev p. 1–3

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes · Fonctions exponentielle et logarithme — arbre pondéré à trois branches, probabilités totales, loi binomiale de paramètres $30$ et $0{,}8$ , $P(X \geqslant 25)$ , taille minimale d'échantillon, $E(T)$ et $V(T)$ avec $T = T_1 + T_2$ , inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace : projeté orthogonal sur le plan $(CAD)$ , volume du tétraèdre $ABCH$ et distance à un plan p. 3–4

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal, plan $x - y = 0$ , représentation paramétrique d'une droite, projeté orthogonal sur un plan, triangle rectangle, hauteur d'un tétraèdre, volume du tétraèdre $ABCH$ , distance d'un point à un plan

Exercice 4 — Fonction $x - 2 + \frac{1}{2}\ln x$ , fonction auxiliaire et aire entre deux courbes p. 4–5

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Intégrale sur un segment · Continuité — $f(x) = x - 2 + \frac{1}{2}\ln x$ , théorème des valeurs intermédiaires, $\ln(\alpha) = 2(2 - \alpha)$ , $g(x) = -\frac{7}{8}x^2 + x - \frac{1}{4}x^2\ln x$ , $g'(x) = xf\left(\frac{1}{x}\right)$ , position relative de deux courbes, $\int_{1/\alpha}^{1} x^2\ln x\,\mathrm{d}x$ , intégration par parties

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Limite d'une fonction en un point Exponentielle et logarithme Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Espaces vectoriels et sous-espaces Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine