AnnalesBaccalauréat

Bac Métropole Terminale 2025 — Jour 2, 18 juin 2025

Probabilités conditionnelles, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, géométrie dans l'espace, vrai-faux sur les suites, la convexité et le logarithme, équation différentielle et distance de freinage · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie les chutes lors d'une initiation au roller par un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle inverse, puis par une loi binomiale, et applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la somme $T = T_1 + T_2$ de deux temps d'attente indépendants. Le deuxième établit que deux droites sont sécantes en $S$ , détermine une équation du plan $(ABC)$ , le projeté orthogonal $H$ de $S$ sur ce plan, et cherche un point $M$ de $[CS]$ tel que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$ . Le troisième est un vrai-faux portant sur la limite d'une suite, une inégalité à établir par récurrence, une convexité lue sur un graphique et le signe de $\ln(x) - x + 1$ . Le quatrième modélise le freinage d'un chariot : lectures graphiques, résolution de $y' + 0{,}6y = \mathrm{e}^{-0{,}6t}$ , étude de la vitesse $v(t) = (12 + t)\mathrm{e}^{-0{,}6t}$ et calcul de la distance parcourue par intégration par parties.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, probabilité conditionnelle inverse, loi binomiale, somme de variables indépendantes et inégalité de Bienaymé-Tchebychev p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Probabilités totales et formule de Bayes · Espérance, variance, moments — arbre pondéré, $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ , probabilité conditionnelle inverse, $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}24)$ , $T = T_1 + T_2$ , variance d'une somme de variables indépendantes, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace : droites sécantes, équation de plan, projeté orthogonal et triangle rectangle p. 2–3

Géométrie vectorielle dans l'espace — droites sécantes, vecteur normal, équation cartésienne $x + 2y + 4z - 7 = 0$ , points non coplanaires, projeté orthogonal, distance d'un point à un plan, point d'un segment $\overrightarrow{CM} = k\overrightarrow{CS}$ , produit scalaire

Exercice 3 — Vrai-faux : limite d'une suite, récurrence, convexité lue sur un graphique et inégalité avec logarithme p. 3–4

Suites numériques · Fonctions convexes · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité — vrai-faux, limite de $u_n = \frac{1 + 5n}{2 + 3n}$ , $w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3$ , raisonnement par récurrence, convexité et tangentes, signe de $\ln(x) - x + 1$

Exercice 4 — Lectures graphiques, équation différentielle linéaire, étude de la vitesse et distance de freinage par intégration par parties p. 4–6

Équations différentielles linéaires · Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes — lecture graphique, asymptote, $y' + 0{,}6y = \mathrm{e}^{-0{,}6t}$ , $v(t) = (12 + t)\mathrm{e}^{-0{,}6t}$ , théorème des valeurs intermédiaires, intégration par parties, $d(t) = \int_0^t v(x)\,\mathrm{d}x$ , distance de freinage

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Espaces vectoriels et sous-espaces Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Dérivabilité Exponentielle et logarithme Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Limite d'une fonction en un point