AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2013 — Session normale, 14 novembre 2013

Étude de fonction avec fonction auxiliaire, suites adjacentes, loi normale et loi binomiale, vrai-faux sur les complexes, chiffrement affine modulo 27 · 5 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie $f(x) = \mathrm{e}^{x} + \frac{1}{x}$ sur $\left]0, +\infty\right[$ à l'aide de la fonction auxiliaire $g(x) = x^2\mathrm{e}^{x} - 1$ , dont l'unique zéro est encadré, et en déduit un encadrement du minimum de $f$ . Le deuxième exercice étudie deux suites définies par des récurrences croisées, montre qu'elles convergent vers la même limite et identifie celle-ci grâce à une combinaison constante, après l'exécution d'un algorithme. Le troisième exercice modélise le diamètre de billes par une loi normale, étudie un contrôle de qualité par un arbre pondéré, puis le nombre de billes hors norme dans un sac par une loi binomiale. Le quatrième exercice est un vrai-faux sur les nombres complexes pour les non-spécialistes, et, pour les spécialistes, l'étude d'un codage affine modulo 27 et de son décodage.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Étude de $\mathrm{e}^{x} + \frac{1}{x}$ à l'aide d'une fonction auxiliaire et du théorème des valeurs intermédiaires p. 1

Dérivabilité · Continuité · Fonctions exponentielle et logarithme — fonction auxiliaire, $g(x) = x^2\mathrm{e}^{x} - 1$ , théorème des valeurs intermédiaires, minimum d'une fonction, encadrement, tableau de variations

Exercice 2 — Suites définies par récurrences croisées, suites adjacentes et algorithme p. 1–2

Suites numériques · Informatique et algorithmique — suites adjacentes, $w_n = v_n - u_n$ , suite géométrique, suite constante, algorithme, limite commune

Exercice 3 — Loi normale, arbre pondéré d'un contrôle de qualité et loi binomiale p. 2–3

Loi normale et vecteurs gaussiens · Conditionnement et indépendance · Lois de Bernoulli et binomiale · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, contrôle de qualité, probabilités totales, espérance et écart-type, $P(Y \leqslant 1)$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Vrai-faux sur les nombres complexes p. 3–4

Nombres complexes · Fonctions trigonométriques — vrai-faux, puissances de $1+\mathrm{i}$ , équation du troisième degré, aire d'un triangle, alignement, $j = \mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}$

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Codage affine modulo 27 et décodage p. 4

Cryptographie — chiffrement affine, modulo 27, $y \equiv 4x + 3 \pmod{27}$ , $x \equiv 7y + 6 \pmod{27}$ , caractères invariants, décodage

Dans l'édifice

Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Exponentielle et logarithme Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence La loi normale Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Fonctions trigonométriques Les anneaux ℤ/nℤ