AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2015 — Session normale, 19 novembre 2015

Probabilités conditionnelles, intervalle de confiance, loi normale et aire sous une sinusoïde, minimum d'une famille de fonctions exponentielles, inégalité par projection orthogonale dans un cube, suites couplées ou suites de matrices · 7 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite deux sources d'eau minérale par un arbre pondéré, un intervalle de confiance et la loi normale, puis choisit le réel $a$ pour que l'aire d'un disque intérieur au domaine limité par $y = a\cos x$ égale celle de la partie restante. Le deuxième exercice montre que $f_a(x) = \mathrm{e}^{x-a} - 2x + \mathrm{e}^{a}$ admet un minimum et cherche la valeur de $a$ qui rend ce minimum le plus petit possible. Le troisième exercice se demande si une implication est vraie puis, dans un cube, utilise le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $(BDE)$ pour établir que $x + y + z = 1$ entraîne $x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \frac{1}{3}$ . Au choix, les non-spécialistes étudient deux suites couplées, corrigent un algorithme et prouvent la convergence par une suite géométrique auxiliaire et l'inégalité $2^n \geqslant n^2$ , et les spécialistes traitent le même modèle par la relation $U_{n+1} = AU_n + B$ et la formule $A^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n (I_2 + nT)$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, intervalle de confiance, loi normale et aire sous une sinusoïde p. 1–2

Probabilités totales et formule de Bayes · Statistique : estimation et tests · Loi normale et vecteurs gaussiens · Intégrale sur un segment · Fonctions trigonométriques — probabilités totales, probabilité conditionnelle, intervalle de confiance, loi normale, détermination de $\sigma$ , $y = a\cos x$ , aire d'un domaine

Exercice 2 — Famille de fonctions exponentielles : existence et optimisation du minimum p. 2–3

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Extrema et optimisation — $f_a(x) = \mathrm{e}^{x-a} - 2x + \mathrm{e}^{a}$ , fonction dépendant d'un paramètre, minimum d'une fonction, étude de variations, minimisation par rapport au paramètre

Exercice 3 — Implications et inégalité $x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \frac{1}{3}$ par projection orthogonale dans un cube p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace · Projection orthogonale et moindres carrés — implication, équation cartésienne d'un plan, droite orthogonale à un plan, projeté orthogonal, théorème de Pythagore, $x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \frac{1}{3}$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suites couplées, algorithme corrigé, suite géométrique auxiliaire et convergence p. 5–6

Suites numériques · Informatique et algorithmique — $d_{n+1} = \frac{1}{2}d_n + 100$ , suites couplées, correction d'un algorithme, $e_n = d_n - 200$ , suite géométrique, raisonnement par récurrence, $2^n \geqslant n^2$ , encadrement et limite

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Suite de matrices $U_{n+1} = AU_n + B$ , puissances de $A$ et évolution à long terme p. 6–7

Calcul matriciel · Suites numériques — $U_{n+1} = AU_n + B$ , $A^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n (I_2 + nT)$ , raisonnement par récurrence, état stable $C = AC + B$ , suite auxiliaire $V_n$ , comportement à long terme

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass La loi normale Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Fonctions trigonométriques Dérivabilité Exponentielle et logarithme Applications différentiables Espaces vectoriels et sous-espaces Espaces de Hilbert et théorème de projection Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème de définition par récurrence Matrices d'une application linéaire