AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2018 — Remplacement, mars 2019

Probabilités conditionnelles, espérance, fluctuation et loi normale, fonction exponentielle et aire entre courbes, vrai-faux sur les complexes et la trigonométrie, suite homographique · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice traite l'entretien d'un parc automobile par un arbre pondéré, la formule de Bayes et l'espérance du coût d'entretien, puis un intervalle de fluctuation et une loi normale d'espérance $450$ et d'écart-type $100$ . Le deuxième étudie la fonction auxiliaire $g(x) = (x+2)\mathrm{e}^{x-4} - 2$ , puis $f(x) = x^2 - x^2\mathrm{e}^{x-4}$ , dont le maximum s'exprime à l'aide de la solution $\alpha$ de $g(x) = 0$ , et calcule l'aire entre sa courbe et la parabole $y = x^2$ . Le troisième est un vrai-faux sur une équation complexe, un ensemble de points, la suite $z_n = (1 - \mathrm{i}\sqrt{3})^n$ et l'équation $\sin(x)(2\cos^2(x) - 1) = 0$ . Le quatrième, pour les non-spécialistes, conjecture au tableur puis démontre le comportement de la suite $u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n + 8}$ grâce à la suite géométrique $v_n = 1 + \frac{7}{u_n}$ ; le document ne contient pas d'exercice de spécialité.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, formule de Bayes et espérance d'un coût, intervalle de fluctuation et loi normale p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Statistique : estimation et tests · Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, $P(R) = 0{,}082$ , coût d'entretien, espérance d'une variable aléatoire, intervalle de fluctuation asymptotique, loi normale d'espérance $\mu = 450$ et d'écart-type $\sigma = 100$

Exercice 2 — Fonction auxiliaire $g(x) = (x+2)\mathrm{e}^{x-4} - 2$ , étude de $f(x) = x^2 - x^2\mathrm{e}^{x-4}$ et aire entre deux courbes p. 2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Continuité · Intégrale sur un segment — fonction auxiliaire, théorème des valeurs intermédiaires, $f'(x) = -xg(x)$ , maximum $\frac{\alpha^3}{\alpha + 2}$ , position relative d'une courbe et d'une parabole, primitive $F(x) = \frac{x^3}{3} - (x^2 - 2x + 2)\mathrm{e}^{x-4}$

Exercice 3 — Vrai-faux : équation complexe, ensemble de points, suite $(1 - \mathrm{i}\sqrt{3})^n$ et équation trigonométrique p. 3

Nombres complexes · Fonctions trigonométriques — vrai-faux, $z(z^2 - 8z + 32) = 0$ , aire d'un triangle, $|z - 3| = |z + 3|$ , $z_n = (1 - \mathrm{i}\sqrt{3})^n$ , alignement de points, $\sin(x)(2\cos^2(x) - 1) = 0$

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Suite $u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n + 8}$ : conjectures au tableur et suite géométrique auxiliaire p. 3–4

Suites arithmétiques et géométriques · Informatique et algorithmique — $u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n + 8}$ , tableur, raisonnement par récurrence, $v_n = 1 + \frac{7}{u_n}$ , $u_n = \frac{7}{8^{n+1} - 1}$ , seuil $10^{-18}$

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass La loi normale Exponentielle et logarithme Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Fonctions trigonométriques Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence