AnnalesBaccalauréat

Bac Nouvelle-Calédonie Terminale 2025 — Jour 2, 21 novembre 2025

Vrai-faux de géométrie dans le cube et de dénombrement, aires et probabilités géométriques, suite récurrente et logarithme, étude de fonction et distance à une courbe · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice est un vrai-faux dans un cube $ABCDEFGH$ portant sur un triangle, la position relative de deux droites, un vecteur normal dont les coordonnées sont des sinus, et le nombre de segments joignant deux sommets. Le deuxième calcule par intégration les aires de trois zones d'un carré découpé par $y = x$ et $y = x^2$ , puis s'en sert comme probabilités dans un jeu étudié par un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle inverse, et dans un second jeu où l'on calcule espérance et variance de gains et de leur somme. Le troisième étudie la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f(x) = \ln(\mathrm{e}^{x/2} + 2)$ , montre par récurrence qu'elle converge et détermine sa limite en résolvant $f(x) = x$ par un changement de variable. Le quatrième étudie $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} + 1$ et l'utilise pour déterminer la distance de l'origine à la courbe du logarithme.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Vrai-faux dans le cube : triangle, droites, vecteur normal et nombre de segments p. 1

Géométrie vectorielle dans l'espace · Coefficients binomiaux · Fonctions trigonométriques — vrai-faux, cube $ABCDEFGH$ , triangle $HAC$ , droites $(HF)$ et $(DI)$ , vecteur normal au plan $(FAC)$ , segments joignant deux sommets, produit scalaire

Exercice 2 — Aires entre courbes, probabilités géométriques, arbre pondéré et espérance et variance d'une somme de gains p. 2–3

Intégrale sur un segment · Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires · Probabilités totales et formule de Bayes — aire entre $y = x$ et $y = x^2$ , probabilité égale à une aire, arbre pondéré, probabilité conditionnelle inverse, $Y = X_1 + X_2 + X_3$ , variables indépendantes, variance d'une somme

Exercice 3 — Suite récurrente définie par un logarithme, récurrence, convergence et équation $f(x) = x$ p. 3

Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Second degré — $f(x) = \ln(\mathrm{e}^{x/2} + 2)$ , $u_0 = \ln(9)$ , $2\ln(2) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ , raisonnement par récurrence, équation $\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{x/2} - 2 = 0$ , changement d'inconnue, point fixe

Exercice 4 — Étude d'une fonction logarithme, théorème des valeurs intermédiaires et distance de l'origine à une courbe p. 4

Dérivabilité · Fonctions exponentielle et logarithme · Continuité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} + 1$ , asymptotes, $f'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$ , théorème des valeurs intermédiaires, encadrement de $\alpha$ , minimum de $OM^2$ , distance d'un point à une courbe

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Ensembles finis et principe des tiroirs Fonctions trigonométriques Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Exponentielle et logarithme Dérivabilité Anneaux de polynômes Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Limite d'une fonction en un point