AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2015 — Remplacement, 9 septembre 2015

Forme exponentielle et fonction $\mathrm{e}^{-x}\cos x$ avec aire, loi normale et test de dépistage avec fluctuation, plan d'un cube, somme des diviseurs d'un entier · 6 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice établit par les complexes l'identité $\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$ , puis étudie les fonctions $\mathrm{e}^{-x}\cos x$ et $\mathrm{e}^{-x}$ , l'écart entre leurs courbes et l'aire qui les sépare sur $[0, 2\pi]$ . Le deuxième exercice combine la loi normale, un test de dépistage traité par probabilités conditionnelles et une prise de décision par intervalle de fluctuation. Le troisième montre dans un cube qu'un vecteur est normal au plan $(IJK)$ et cherche un plan parallèle. Ce sujet ne comporte que l'exercice de spécialité, qui étudie la somme $S(n)$ des diviseurs d'un entier, caractérise les entiers tels que $S(n) = 1 + n$ , calcule $S(n)$ pour un produit de deux premiers et pour une puissance d'un premier, et examine si $S$ est multiplicative pour deux entiers distincts quelconques.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Forme exponentielle, identité trigonométrique, fonction $\mathrm{e}^{-x}\cos x$ et aire entre deux courbes p. 1–6

Nombres complexes · Fonctions trigonométriques · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Fonctions exponentielle et logarithme · Limites de fonctions et asymptotes — $\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$ , $f(x) = \mathrm{e}^{-x}\cos x$ , position relative de deux courbes, asymptote horizontale, tableau de variation, aire entre deux courbes

Exercice 2 — Loi normale, test de dépistage par probabilités conditionnelles et intervalle de fluctuation p. 2–3

Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes · Statistique : estimation et tests — loi normale, détermination de $\sigma$ , test de dépistage, probabilités totales, $P_D(M)$ , intervalle de fluctuation asymptotique

Exercice 3 — Cube : vecteur normal, droite parallèle à un plan et plans parallèles p. 4

Géométrie vectorielle dans l'espace — vecteur normal à un plan, droite parallèle à un plan, plans parallèles, milieux d'arêtes, point d'une diagonale du cube

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Somme des diviseurs d'un entier et nombres premiers p. 4–5

Nombres premiers · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Suites arithmétiques et géométriques — somme des diviseurs $S(n)$ , nombre premier, $S(pq) = (1+p)(1+q)$ , multiplicativité, $S(p^k) = \frac{1 - p^{k+1}}{1 - p}$ , somme géométrique

Dans l'édifice

Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Fonctions trigonométriques Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Exponentielle et logarithme Limite d'une fonction en un point La loi normale Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Espaces vectoriels et sous-espaces Théorème fondamental de l'arithmétique Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Suites réelles et limites