AnnalesBaccalauréat

Bac Polynésie Terminale 2018 — Session normale, 20 juin 2018

Probabilités conditionnelles, fluctuation et loi normale, fonction trigonométrique et volume d'une ampoule, fonction exponentielle et aires, système de suites récurrentes ou matrice de transition · 8 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice étudie le retrait de DVD défectueux par un arbre pondéré et une probabilité conditionnelle, teste une proportion par un intervalle de fluctuation, puis détermine l'écart-type d'une loi normale et une probabilité conditionnelle sur la durée d'un film. Le deuxième détermine les paramètres de $f(x) = a + b\sin\left(c + \frac{\pi}{4}x\right)$ modélisant le profil d'une ampoule, puis approche son volume par des cylindres et un algorithme de sommation. Le troisième exprime les aires d'un triangle et d'un domaine délimité par l'axe des ordonnées, la courbe de $f(x) = k\mathrm{e}^{-kx}$ et le segment $[OB]$ et montre l'existence d'une unique valeur de $k$ rendant l'une double de l'autre. Au choix, les non-spécialistes étudient le système récurrent des probabilités de présence d'un lapin dans trois galeries à l'aide de deux suites géométriques, et les spécialistes une matrice de transition à deux états, sa réduction $D = P^{-1}AP$ et un état stationnaire.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Arbre pondéré, intervalle de fluctuation et loi normale et probabilité conditionnelle p. 1–2

Conditionnement et indépendance · Statistique : estimation et tests · Loi normale et vecteurs gaussiens · Probabilités totales et formule de Bayes — arbre pondéré, $P(R) = 0{,}134$ , probabilité conditionnelle, intervalle de fluctuation asymptotique, loi normale d'espérance $\mu = 80$ , $P(X \geqslant 92) = 0{,}10$

Exercice 2 — Profil d'une ampoule : fonction $a + b\sin\left(c + \frac{\pi}{4}x\right)$ , volumes et approximation par des cylindres p. 2–5

Fonctions trigonométriques · Dérivabilité · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Informatique et algorithmique — $f(x) = a + b\sin\left(c + \frac{\pi}{4}x\right)$ , tangentes horizontales, $f(x) = 2 - \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)$ , volume d'un cylindre, volume d'une demi-boule, solide de révolution, approximation par des cylindres, algorithme de sommation

Exercice 3 — Fonction $f(x) = k\mathrm{e}^{-kx}$ : primitive, aires et unicité d'un paramètre p. 5

Fonctions exponentielle et logarithme · Intégrale sur un segment · Continuité · Dérivabilité — $f(x) = k\mathrm{e}^{-kx}$ , primitive, aire du triangle $OCB$ , aire d'un domaine, existence et unicité d'un paramètre

Exercice 4 — Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité — Système de suites récurrentes : déplacements d'un lapin et suites géométriques p. 5–7

Suites arithmétiques et géométriques · Chaînes de Markov · Informatique et algorithmique — système de suites récurrentes, tableur, $u_n = a_n - c_n$ , $v_n = b_n - \frac{4}{7}$ , $v_{n+1} = -\frac{1}{6}v_n$ , $b_n = \frac{4}{7} - \frac{4}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^n$ , comportement à long terme

Exercice 4 — Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité — Matrice de transition à deux états, réduction $D = P^{-1}AP$ et état stationnaire p. 7–8

Calcul matriciel · Matrices stochastiques et bistochastiques · Diagonalisation · Chaînes de Markov · Suites numériques — $X_{n+1} = X_nA$ , matrice de transition, $D = P^{-1}AP$ , $A^n = PD^nP^{-1}$ , état stationnaire $XM = X$ , atome d'hydrogène

Dans l'édifice

Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass La loi normale Fonctions trigonométriques Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème de définition par récurrence Exponentielle et logarithme Théorème fondamental de l'analyse Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ