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CAPES externe 2017 — Écrit disciplinaire appliqué

Calcul approché de l'aire du quart de disque ; marches aléatoires sur un graphe et PageRank · 9 pages

Le premier problème approche l'aire $\pi/4$ du quart de disque unité par la méthode des rectangles (encadrement, écart égal à $1/n$ , suites adjacentes pour les subdivisions dyadiques), par la méthode des trapèzes puis par la méthode de Monte-Carlo avec un intervalle de confiance à 95 %, en commentant la réponse à donner à un élève. Le second étudie les marches aléatoires sur un graphe orienté via leur matrice de transition (tétraèdre, pyramide tronquée où la loi oscille), les matrices stochastiques, puis les deux modèles du PageRank : avec facteur d'amortissement $\alpha$ , la suite $Q B^k$ converge vers l'unique densité $H = (\alpha/n) L (I - (1 - \alpha)A)^{-1}$ .

Le sujet, partie par partie

Problème 1, parties I à IV — Méthodes des rectangles et des trapèzes p. 1–2

Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Quadrature numérique · Suites numériques · Intégrale sur un segment · Enseignement et didactique · Informatique et algorithmique — aire du quart de disque, méthode des rectangles, méthode des trapèzes, suites adjacentes, subdivision régulière, erreur d'approximation, algorithme

Problème 1, partie V — Méthode de Monte-Carlo p. 3

Statistique : estimation et tests · Variables à densité · Informatique et algorithmique · Théorème central limite et convergence en loi — méthode de Monte-Carlo, loi uniforme sur le carré, fréquence, intervalle de confiance, niveau de confiance 95 %, nombre de tirages

Problème 2, partie A — Marche aléatoire sur un graphe p. 4–6

Chaînes de Markov · Graphes · Suites récurrentes linéaires · Calcul matriciel · Marches aléatoires · Enseignement et didactique — matrice de transition, marche aléatoire sur un graphe, tétraèdre, graphe biparti, loi stationnaire, condition nécessaire et suffisante, puissances de matrice

Problème 2, partie B — Matrices stochastiques et densités de probabilité p. 6–7

Matrices stochastiques et bistochastiques · Calcul matriciel · Topologie des espaces de matrices — matrice stochastique, densité de probabilité discrète, vecteur colonne de 1, combinaison convexe, stabilité par produit, passage à la limite

Problème 2, parties C et D — PageRank p. 7–9

Matrices stochastiques et bistochastiques · Chaînes de Markov · Réduction des endomorphismes · Suites numériques · Graphes — PageRank, pertinence d'une page, facteur d'amortissement, probabilité invariante, matrice $I - \gamma A$ inversible, valeur propre de module au plus 1, convergence géométrique

Dans l'édifice

Intégrale de Riemann Théorème du point fixe de Banach Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème fondamental de l'analyse Principe de récurrence Théorème de définition par récurrence Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass La loi normale Lois de Poisson et loi exponentielle Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Indépendance d'événements et de tribus Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Déterminant d'un endomorphisme