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AnnalesEnseignement

CAPES externe 2026 — Écrit disciplinaire

Vrai-faux ; irrationalités, théorèmes de Lucas et de Niven · 12 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le premier problème est un vrai-faux portant sur le programme du lycée (calculs dans ℝ\mathbb{R}, évolutions, analyse, arithmétique, géométrie et nombres complexes, dénombrement et probabilités, matrices). Le second suit un fil géométrique et arithmétique : preuve du théorème de Pythagore selon Garfield, preuves géométriques de l'irrationalité de 2\sqrt{2} (Apostol) et de 3\sqrt{3}, théorème de Lucas (trois points à coordonnées rationnelles ne forment jamais un triangle équilatéral), irrationalité de ee par la méthode des intervalles emboîtés de Sondow, puis théorème de Niven : si θ\theta est un angle rationnel dont le cosinus est rationnel, alors cos⁡θ∈{−1,−1/2,0,1/2,1}\cos\theta \in \{-1, -1/2, 0, 1/2, 1\}, appliqué aux triangles à côtés et angles rationnels.

Le sujet, partie par partie

Problème 1 — Vrai-Faux p. 5–7

Dérivabilité · Géométrie affine et euclidienne · Arithmétique des entiers · Suites numériques · Intégrale sur un segment · Nombres complexes · Dénombrement et combinatoire · Calcul matriciel — vrai ou faux, taux d'évolution moyen, divisibilité, plans sécants, homothéties, tirages dans une urne

Problème 2, Partie I — Autour du triangle rectangle p. 7–8

Géométrie affine et euclidienne · Irrationalité et approximation diophantienne — théorème de Pythagore, preuve de Garfield, irrationalité de racine de 2, preuve géométrique d'Apostol

Problème 2, Partie II — Autour du triangle équilatéral p. 8–9

Irrationalité et approximation diophantienne · Géométrie affine et euclidienne · Nombres complexes — irrationalité de racine de 3, triangle équilatéral, théorème de Lucas, points à coordonnées rationnelles

Problème 2, Partie III — Irrationalité de ee par la méthode de Sondow p. 10–11

Irrationalité et approximation diophantienne · Intégrale sur un segment · Suites numériques · Informatique et algorithmique — irrationalité de ee, méthode de Sondow, intervalles emboîtés, programme Python, factorielle

Problème 2, Partie IV — Polygones à angles rationnels p. 11–12

Irrationalité et approximation diophantienne · Racines et relations coefficients-racines · PGCD, Bézout, Gauss · Polynômes de Tchebychev · Géométrie affine et euclidienne — théorème de Niven, angle rationnel, racine rationnelle d'un polynôme unitaire, formule de sin⁡(3x)\sin(3x), cos⁡(nx)\cos(nx)

Dans l'édifice

DérivabilitéEspaces vectoriels et sous-espacesDivision euclidiennePGCD, théorème de Bézout, lemme de GaussThéorème fondamental de l'arithmétiqueSuites réelles et limitesThéorème de Bolzano-WeierstrassComplétude de ℝIntégrale de RiemannThéorème fondamental de l'analyseConjugaison et moduleRacines carrées et équations du second degréLa fonction exponentielleEnsembles finis et principe des tiroirsSommes, produits et puissancesMatrices d'une application linéaireℚ n'a pas la propriété de la borne supérieureUn corps ordonné complet est archimédienThéorème de définition par récurrenceAnneaux de polynômes
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