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CCINP MP 2020 — Maths 2

Réduction, topologie de $\mathrm{GL}_n$ et similitudes d'un espace euclidien · 4 pages

Le sujet comprend un exercice de diagonalisation d'une matrice symétrique $3 \times 3$ avec racine carrée et puissances, un exercice de topologie sur $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ (ouvert dense non connexe par arcs, application à $\chi_{AB} = \chi_{BA}$ ), et un problème qui caractérise les similitudes d'un espace euclidien : composées d'une homothétie et d'une isométrie, endomorphismes conservant l'orthogonalité, applications multipliant le produit scalaire par $k^2$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Diagonalisation d'une matrice symétrique p. 2

Diagonalisation · Théorème spectral · Polynômes d'endomorphismes — matrice symétrique réelle, racine carrée de matrice, puissances de matrice, polynôme minimal, division euclidienne

Exercice II — Topologie de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ p. 2–3

Topologie des espaces de matrices · Densité · Connexité · Déterminants — groupe linéaire, ouvert dense, connexité par arcs, polynôme caractéristique de $AB$ et $BA$ , continuité du déterminant

Problème — Similitudes d'un espace euclidien p. 3–4

Isométries et groupe orthogonal · Matrices orthogonales et rotations · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Groupes — similitude vectorielle, automorphisme orthogonal, homothétie, identité de polarisation, conservation de l'orthogonalité, groupe des similitudes

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Anneaux de polynômes Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Intérieur, adhérence Caractérisations de la connexité Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de représentation de Riesz Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient