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CCINP MP 2021 — Maths 1

Un peu d'arithmétique avec la fonction zêta de Riemann · 8 pages

Deux exercices courts calculent l'intégrale de $\ln t/(t^2-1)$ sur $\left]0,1\right[$ , égale à $\pi^2/8$ , par développement en série, puis cherchent l'extremum global de $x + y + 1/(xy)$ grâce à l'inégalité arithmético-géométrique. Le problème programme en Python les nombres de Bernoulli qui donnent $\zeta(2k)$ , étudie la régularité de $\zeta$ , son équivalent $1/(x-1)$ en $1$ et la série de Dirichlet du nombre de diviseurs, puis établit le produit eulérien à l'aide d'une loi zêta sur $\mathbb{N}^*$ et en déduit la divergence de la série des inverses des nombres premiers.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Intégrale de $\ln t/(t^2-1)$ p. 2

Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonction zêta de Riemann · Séries numériques — intégration terme à terme, intégrale de $t^{2k} \ln t$ , somme des $1/n^2$ , $\pi^2/8$

Exercice II — Concavité et extremum d'une fonction de deux variables p. 2

Inégalité arithmético-géométrique · Points critiques et hessienne · Fonctions convexes · Extrema et optimisation — concavité du logarithme, inégalité arithmético-géométrique, point critique, extremum global

Problème, Partie I — Algorithmique : calcul de zêta aux entiers pairs p. 3–4

Informatique et algorithmique · Polynômes et nombres de Bernoulli · Coefficients binomiaux · Fonction zêta de Riemann — nombres de Bernoulli, formule d'Euler pour $\zeta(2k)$ , fonction récursive, coefficients binomiaux, programme Python

Problème, Partie II — Généralités sur la fonction zêta p. 4

Fonction zêta de Riemann · Suites et séries de fonctions · Comparaison série-intégrale · Familles sommables et produit de Cauchy · Équivalents et comparaison · Convergence uniforme et normale — fonction zêta de Riemann, classe $\mathcal{C}^1$ , comparaison série-intégrale, équivalent en $1$ , nombre de diviseurs, famille sommable

Problème, Partie III — Produit eulérien p. 5

Produits infinis · Nombres premiers · Espaces probabilisés · Fonction zêta de Riemann · Conditionnement et indépendance · PGCD, Bézout, Gauss · Variables aléatoires et lois usuelles — produit eulérien, loi zêta, indépendance mutuelle, entiers premiers entre eux, série des inverses des nombres premiers