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CCINP MPI 2023 — Maths 2

Projection orthogonale, maximum de lois géométriques, projecteurs spectraux et décomposition spectrale · 8 pages

Le premier exercice minimise $\int (x^2 - ax - b)^2 e^{-x} \,\mathrm{d}x$ sur $\left]0, +\infty\right[$ en projetant $X^2$ sur $\mathbb{R}_1[X]$ pour un produit scalaire intégral, et le second détermine, pour deux variables indépendantes de même loi $P(X = k) = p q^k$ sur $\mathbb{N}$ , la loi conjointe de leur maximum $Z$ et de leur minimum $T$ , puis la loi de $Z$ . Le problème démontre le lemme des noyaux pour deux facteurs, construit les projecteurs associés à un endomorphisme à partir d'une relation de Bézout sur les facteurs de son polynôme minimal et montre que leurs images sont les sous-espaces caractéristiques. Dans le cas diagonalisable, il les obtient par décomposition en éléments simples de $1/\pi_u$ , établit la décomposition spectrale $u = \sum \lambda_i p_i$ , montre que ces projecteurs forment une base de $\mathbb{K}[u]$ et prouve la réciproque : s'il existe des $f_i$ non nuls et des $\lambda_i$ distincts avec $u^q = \sum \lambda_i^q f_i$ pour tout $q$ , alors $u$ est diagonalisable.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Projection orthogonale dans $\mathbb{R}_2[X]$ p. 2

Projection orthogonale et moindres carrés · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions Gamma et Bêta — produit scalaire intégral, projeté orthogonal, distance à un sous-espace, moindres carrés, poids $e^{-x}$

Exercice 2 — Maximum et minimum de deux lois géométriques p. 2

Loi géométrique · Couples et sommes de variables aléatoires · Conditionnement et indépendance · Séries numériques — loi conjointe, maximum de variables aléatoires, minimum de variables aléatoires, variables indépendantes, loi géométrique sur $\mathbb{N}$

Problème, Partie I — Lemme des noyaux et projecteurs associés p. 3–4

Polynômes d'endomorphismes · Sous-espaces stables · PGCD, Bézout, Gauss · Diagonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — lemme de décomposition des noyaux, identité de Bézout, polynôme minimal, projecteurs associés, sous-espaces caractéristiques

Problème, Partie II — Décomposition spectrale d'un endomorphisme diagonalisable p. 4–5

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Fractions rationnelles · Interpolation polynomiale · Algèbres et sous-algèbres — décomposition spectrale, décomposition en éléments simples, projecteurs spectraux, algèbre $\mathbb{K}[u]$ , dimension de $\mathbb{K}[u]$ , polynômes de Lagrange, puissances d'une matrice

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Applications linéaires Anneaux de polynômes PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Corps des fractions d'un anneau intègre Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé