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CCINP MPI 2024 — Maths 1

Espérance d'un maximum, équation différentielle et calculs de $\zeta(2)$ · 4 pages

Un premier exercice établit $E(X) = \sum P(X > k)$ et l'applique au maximum de $p$ tirages avec remise dans une urne de $n$ boules, dont l'espérance est équivalente à $np/(p + 1)$ grâce à une somme de Riemann. Un second exercice résout l'équation $x^2y'' + 4xy' + (2 - x^2)y = 1$ sur $\left]0, +\infty\right[$ à partir de sa solution développable en série entière $(\operatorname{ch} x - 1)/x^2$ et discute la dimension de l'espace des solutions de l'équation homogène sur $\mathbb{R}$ . Le problème calcule $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ de deux façons : par le développement en série entière d' $\operatorname{Arcsin}$ et les intégrales de Wallis, puis par l'étude de l'intégrale à paramètre $f(x) = \int_0^\infty \operatorname{Arctan}(xt)/(1 + t^2)\,\mathrm{d}t$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Espérance du maximum de tirages p. 2

Espérance, variance, moments · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Espaces probabilisés · Équivalents et comparaison — espérance par la queue de loi, tirages avec remise, loi du maximum, somme de Riemann, équivalent de l'espérance

Exercice II — Une équation différentielle à coefficients variables p. 2

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Équations différentielles linéaires — solution développable en série entière, raccordement de solutions, espace des solutions, point singulier

Problème, Partie I — Intégrales de Wallis et Arcsin p. 3

Séries entières · Intégrale sur un segment · Interversion des limites · Fonction zêta de Riemann · Séries numériques — intégrales de Wallis, développement en série entière d' $\operatorname{Arcsin}$ , intégration terme à terme, problème de Bâle, somme des inverses des carrés impairs

Problème, Partie II — Une intégrale à paramètre p. 4

Intégrales à paramètre · Séries entières · Fonction zêta de Riemann · Intégrales généralisées et intégrabilité · Interversion des limites — intégrale à paramètre, dérivation sous le signe intégrale, intégrale de $\ln x/(x^2 - 1)$ , $\operatorname{Arctan}$ , problème de Bâle

Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités Intégrale de Riemann Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Suites réelles et limites Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Théorème fondamental de l'analyse La fonction zêta de Riemann et son prolongement Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann