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Centrale-Supélec MP 2021 — Maths 1
Le sujet démontre le théorème de Wigner : pour une matrice symétrique aléatoire à coefficients indépendants centrés de variance 1, la moyenne des sur les valeurs propres de tend vers l'intégrale de contre la densité . Il établit l'inégalité de Hoffman-Wielandt via les matrices bistochastiques, dénombre les mots bien parenthésés (nombres de Catalan) par une série génératrice, prouve la convergence des moments dans le cas borné, puis passe au cas général par troncature.
Le sujet, partie par partie
Partie I — Inégalité de Hoffman-Wielandt p. 2–3
Théorème spectral · Matrices stochastiques et bistochastiques · Compacité · Matrices orthogonales et rotations · Normes équivalentes — inégalité de Hoffman-Wielandt, matrices bistochastiques, norme de Frobenius, valeurs propres ordonnées, matrices orthogonales
Partie II — Dénombrement des mots bien parenthésés p. 3
Nombres de Catalan et chemins · Fonctions génératrices · Séries entières · Coefficients binomiaux — nombres de Catalan, mots bien parenthésés, série génératrice, rayon de convergence, développement en série entière de
Partie III — Loi du demi-cercle, cas uniformément borné p. 4–6
Matrices et graphes aléatoires · Espérance, variance, moments · Dénombrement et combinatoire · Intégrale sur un segment · Théorème de Weierstrass · Nombres de Catalan et chemins — méthode des moments, trace des puissances, cycles et arêtes, moments de la loi du demi-cercle, nombres de Catalan, fonction continue bornée
Partie IV — Loi du demi-cercle, cas général p. 6
Matrices et graphes aléatoires · Espérance, variance, moments · Convergence dominée · Inégalité de Cauchy-Schwarz — troncature, loi du demi-cercle, théorème de Wigner, fonction lipschitzienne, variables centrées réduites