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Centrale-Supélec MP 2024 — Maths 1

Inégalité de Carleman · 4 pages

Le sujet démontre l'inégalité de Carleman $\sum (a_1 \cdots a_n)^{1/n} \leqslant e \sum a_n$ de trois façons : par son analogue continu, l'inégalité de Knopp, obtenue grâce à l'inégalité de Jensen intégrale ; par la méthode originale de Carleman, un problème d'extremum sous contrainte traité avec les multiplicateurs de Lagrange, qui redonne aussi l'inégalité arithmético-géométrique ; enfin sous la forme raffinée de Carleman-Yang, à l'aide du développement en série entière de $(1 - t)^{1-1/t}$ .

Le sujet, partie par partie

I — Inégalité de Knopp p. 1–2

Inégalité de Jensen · Inégalités fonctionnelles · Intégrales généralisées et intégrabilité · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Convergence dominée · Inégalités classiques — inégalité de Jensen intégrale, inégalité de Knopp, intégration par parties, fonction en escalier, inégalité de Carleman

II.A — Inégalité arithmético-géométrique p. 2–3

Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange · Inégalité arithmético-géométrique · Compacité — multiplicateurs de Lagrange, gradient, extremum sous contrainte, inégalité arithmético-géométrique

II.B — Démonstration de l'inégalité de Carleman p. 3

Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange · Inégalités classiques · Compacité · Suites numériques — inégalité de Carleman, multiplicateurs de Lagrange, constante $e$ , raisonnement par l'absurde

III — Inégalité de Carleman-Yang p. 3–4

Séries entières · Inégalités classiques · Familles sommables et produit de Cauchy · Inégalité arithmético-géométrique · Dérivabilité — inégalité de Carleman-Yang, développement en série entière, suite définie par récurrence, coefficients positifs

Dans l'édifice

Dérivabilité Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Intégrale de Riemann Théorème de convergence dominée Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Applications différentiables Compacité Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques La demi-droite achevée et les sommes positives