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Centrale-Supélec PC 2012 — Maths 2

Équations linéaires · 8 pages

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Le sujet illustre le théorème de structure des solutions d'une équation linéaire $f(x) = b$ . Il interprète géométriquement l'algorithme du pivot (plans et vecteurs de $\mathbb{R}^3$ ) et en tire un algorithme de pivots synchronisés donnant simultanément une base du noyau et de l'image. Il découple ensuite en parallèle un système différentiel et un système de récurrences de la forme $X' = AX$ et $U_{n+1} = AU_n$ , compte les zones découpées sur la sphère par $n$ cercles grâce à l'opérateur de différence sur les suites polynomiales, et étudie enfin l'équation fonctionnelle $y(x + 1) - y(x) = 1/(1 + x)^2$ à l'aide d'une série de fonctions et d'une représentation intégrale.

Le sujet, partie par partie

Question préliminaire et Partie I — Pivots (figures 1 et 2 en pages 7 et 8) p. 1–3

Applications linéaires et rang · Calcul matriciel · Espaces vectoriels et dimension · Géométrie affine et euclidienne — algorithme du pivot de Gauss, opérations élémentaires sur les colonnes, noyau et image, système linéaire, intersection de plans, structure de l'ensemble des solutions

Partie II — Équations différentielles et équations de récurrence p. 3–4

Systèmes différentiels linéaires · Suites récurrentes linéaires · Diagonalisation · Informatique et algorithmique · Équations linéaires d'ordre 2 — système différentiel linéaire, récurrence linéaire d'ordre 2, vecteurs propres, mise sous forme $X' = AX$ , Maple

Partie III — Exemple en géométrie : zones de la sphère p. 4–5

Applications linéaires et rang · Suites récurrentes linéaires · Dénombrement et combinatoire · Polynômes — régions découpées par des cercles sur la sphère, opérateur de différence, suites polynomiales, restriction à un sous-espace stable, noyau et image

Partie IV — Équations fonctionnelles linéaires p. 5–6

Équations fonctionnelles · Convergence uniforme et normale · Intégrales à paramètre · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison — équation fonctionnelle $y(x + 1) - y(x) = 1/(1 + x)^2$ , fonctions périodiques, série de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ , encadrement par une intégrale, représentation intégrale

Dans l'édifice

Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Suites réelles et limites Théorème de définition par récurrence Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Anneaux de polynômes Continuité Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann