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Centrale-Supélec PC 2017 — Maths 2

Vitesse de convergence de suites réelles · 4 pages

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La partie I définit la vitesse de convergence d'une suite à partir de la limite de $|u_{n+1} - \ell| / |u_n - \ell|$ (lente, géométrique, rapide, d'ordre $r$ ) et la calcule sur des exemples : $(1 + 1/2^n)^{2^n}$ , sommes partielles de séries de Riemann, sommes partielles de $\sum 1/k!$ , intégrale à paramètre, suites itératives $u_{n+1} = f(u_n)$ où l'ordre $r$ équivaut à l'annulation des $r - 1$ premières dérivées en $\ell$ . La partie II calcule des moments exponentiels (lois de Poisson, géométrique, binomiale), montre que, pour une variable admettant un moment exponentiel, $\mathbb{P}(|S_n/n - m| \geqslant \varepsilon)$ est majorée par une suite géométrique, puis établit l'inégalité de Hoeffding $\mathbb{P}(|S_n/n| \geqslant \varepsilon) \leqslant 2 \exp(-n\varepsilon^2/(2c^2))$ pour des variables bornées centrées, appliquée à la loi binomiale.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Vitesse de convergence d'une suite réelle p. 1–2

Suites numériques · Équivalents et comparaison · Points fixes et suites itératives · Développements limités · Comparaison série-intégrale · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité · Analyse numérique — vitesse de convergence, convergence géométrique, convergence rapide, convergence d'ordre $r$ , suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ , série de Riemann, développement asymptotique

Partie II — Autour de la loi faible des grands nombres p. 2–4

Inégalités de concentration · Lois des grands nombres · Espérance, variance, moments · Séries entières · Fonctions convexes · Interversion des limites · Lois de Bernoulli et binomiale · Loi de Poisson — moment exponentiel, inégalité de Hoeffding, borne de Chernoff, loi faible des grands nombres, cosinus hyperbolique, fonction génératrice des moments

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Dérivabilité Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Espérance, variance et inégalités Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle