AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Centrale-Supélec PC 2019 — Maths 1

Réduction de sous-algèbres de $\mathcal{L}(E)$ · 4 pages

Le sujet étudie les sous-algèbres de $\mathcal{L}(E)$ et de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ : exemples (matrices triangulaires, stabilisateur d'un sous-espace, de dimension $n^2 - pn + p^2$ ), puis l'algèbre commutative des matrices circulantes, codiagonalisable sur $\mathbb{C}$ . À l'aide du produit scalaire $\operatorname{tr}(A^\top B)$ , il montre qu'une sous-algèbre stricte de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est de dimension au plus $n^2 - n + 1$ . Il prouve enfin qu'une algèbre de nilpotents est trigonalisable (en fait strictement triangulaire dans une même base) en admettant puis en démontrant le théorème de Burnside sur les algèbres irréductibles.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Exemples de sous-algèbres p. 1–2

Algèbres et sous-algèbres · Sous-espaces stables · Matrices remarquables · Matrices par blocs · Diagonalisation — sous-algèbre, matrices triangulaires supérieures, matrices symétriques et antisymétriques, stabilisateur d'un sous-espace, dimension, matrices de similitude

Partie II — Une sous-algèbre commutative de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ p. 2

Diagonalisation · Matrices remarquables · Algèbres et sous-algèbres · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Nombres complexes · Polynômes d'endomorphismes — matrice circulante, matrice de permutation circulaire, racines $n$ -ièmes de l'unité, codiagonalisation, commutant, valeurs propres

Partie III — Sous-algèbres strictes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de dimension maximale p. 3

Algèbres et sous-algèbres · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Sous-espaces stables · Espaces vectoriels et dimension · Calcul matriciel — produit scalaire $\operatorname{tr}(A^\top B)$ , orthogonal d'un sous-espace, dimension maximale, transposée, sous-espace stable commun

Partie IV — Réduction d'une algèbre nilpotente de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ p. 3–4

Trigonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Algèbres et sous-algèbres · Matrices par blocs · Sous-espaces stables — algèbre de nilpotents, trigonalisation simultanée, récurrence forte, matrices triangulaires par blocs, matrices strictement triangulaires

Partie V — Le théorème de Burnside p. 4

Algèbres et sous-algèbres · Sous-espaces stables · Applications linéaires et rang — théorème de Burnside, algèbre irréductible, endomorphisme de rang 1, rang, sous-espace invariant

Dans l'édifice

Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Applications linéaires Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Théorème du rang