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Centrale-Supélec PC 2020 — Maths 2

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle · 4 pages

Le sujet définit la fonction caractéristique $\phi_X(t) = \mathbb{E}(e^{itX})$ d'une variable aléatoire discrète, la calcule pour les lois usuelles et caractérise $|\phi_X(t_0)| = 1$ par une loi portée par un réseau. Il montre par deux méthodes que $\phi_X$ détermine la loi, relie la régularité de $\phi_X$ à l'existence des moments, et établit son développement en série entière sous une hypothèse de croissance des moments.

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I — Fonction caractéristique p. 1–2

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Espérance, variance, moments · Lois de Bernoulli et binomiale · Loi géométrique · Loi de Poisson · Séries numériques — fonction caractéristique, théorème de transfert, variable aléatoire complexe, loi portée par un réseau, sinus cardinal

Partie II — Fonction caractéristique et loi p. 3

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Intégrales à paramètre · Suites et séries de fonctions · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries entières · Convergence uniforme et normale — formule d'inversion, sinus cardinal, intégrale de Dirichlet, continuité d'une série de fonctions, caractérisation de la loi

Partie III — Régularité et moments p. 4

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Espérance, variance, moments · Interversion des limites · Dérivabilité — moment d'ordre $k$ , dérivation sous le signe somme, fonction de classe $\mathcal{C}^k$ , variable aléatoire biaisée

Partie IV — Développement en série entière p. 4

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Séries entières · Espérance, variance, moments — développement en série entière, inégalité de Taylor-Lagrange, moments, rayon de convergence

Dans l'édifice

Fonctions caractéristiques des variables aléatoires Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Lois de Poisson et loi exponentielle Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Dérivabilité