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Centrale-Supélec PC 2021 — Maths 2

Formules de quadrature, polynômes orthogonaux et accélération de la méthode des trapèzes · 6 pages

Le sujet construit des formules de quadrature exactes sur $\mathbb{R}_n[X]$ grâce à la base de Lagrange et majore leur erreur avec le noyau de Peano, ce qui donne une erreur en $(b-a)^3/(12n^2)$ pour la méthode des trapèzes. Il montre que les polynômes orthogonaux associés à un poids ont des racines simples intérieures, qui sont les nœuds des méthodes de Gauss d'ordre $2n+1$ , avec les exemples de Legendre et de Tchebychev. Il introduit enfin les nombres et polynômes de Bernoulli par la série de $z/(e^z - 1)$ pour obtenir le développement asymptotique de l'erreur des trapèzes en puissances de $1/n^2$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Généralités sur les formules de quadrature p. 1–3

Quadrature numérique · Interpolation polynomiale · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Applications linéaires et rang — formule de quadrature, ordre d'une méthode, base de Lagrange, noyau de Peano, formule de Taylor avec reste intégral, méthode des trapèzes, méthode de Simpson

Partie II — Polynômes orthogonaux et méthodes de Gauss p. 3–5

Polynômes orthogonaux · Quadrature numérique · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes de Legendre · Polynômes de Tchebychev · Intégrales généralisées et intégrabilité · Racines et relations coefficients-racines — produit scalaire à poids, polynômes orthogonaux, racines simples, méthode de quadrature de Gauss, polynômes de Legendre, polynômes de Tchebychev

Partie III — Nombres de Bernoulli et accélération de la méthode des trapèzes p. 5–6

Polynômes et nombres de Bernoulli · Formule d'Euler-Maclaurin et sommation · Séries entières · Développements asymptotiques · Quadrature numérique — nombres de Bernoulli, polynômes de Bernoulli, inverse d'une série entière, produit de Cauchy, formule d'Euler-Maclaurin, développement asymptotique de l'erreur

Dans l'édifice

Théorème du point fixe de Banach Anneaux de polynômes Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Applications linéaires Théorème du rang Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Sommation d'Abel et intégrales impropres Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques