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Centrale-Supélec PC 2023 — Maths 2

Séries entières, sommes doubles et probabilités · 4 pages

La première partie établit $\sum \binom{n}{k}x^n = x^k/(1-x)^{k+1}$ , en déduit une famille de polynômes $P_k$ (polynômes eulériens) avec leur relation de récurrence, la symétrie de leurs coefficients et leur calcul en Python, puis développe $1/\sqrt{1-4x} = \sum \binom{2n}{n}x^n$ . La deuxième étudie des sommes doubles et la légitimité de leurs interversions, avec des contre-exemples. La troisième traite un couple formé d'une variable géométrique et d'une variable conditionnellement de Poisson, puis le premier retour à l'égalité dans un pile ou face infini, dont la probabilité vaut $1 - \sqrt{1-4p(1-p)}$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I.A et I.B — Séries entières et polynômes $P_k$ p. 1–2

Séries entières · Polynômes · Coefficients binomiaux · Informatique et algorithmique · Espaces vectoriels et dimension — polynômes eulériens, relation de récurrence, symétrie des coefficients, base de polynômes, fonction Python

Partie I.C — Série entière des coefficients binomiaux centraux p. 2

Séries entières · Coefficients binomiaux · Nombres de Catalan et chemins · Familles sommables et produit de Cauchy — coefficients binomiaux centraux, développement de $1/\sqrt{1-4x}$ , nombres de Catalan, produit de Cauchy

Partie II — Étude de sommes doubles p. 2–3

Familles sommables et produit de Cauchy · Séries numériques · Fonction zêta de Riemann · Interversion des limites — sommes doubles, théorème de Fubini discret, série de Lambert, contre-exemple d'interversion

Partie III.A — Un conditionnement p. 4

Loi géométrique · Loi de Poisson · Couples et sommes de variables aléatoires · Espérance, variance, moments · Conditionnement et indépendance — loi conjointe, loi conditionnelle de Poisson, formule des probabilités totales

Partie III.B — Pile ou face infini p. 4

Marches aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale · Séries entières · Coefficients binomiaux · Nombres de Catalan et chemins — premier retour à l'égalité, pile ou face infini, probabilité de retour

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Anneaux de polynômes Ensembles finis et principe des tiroirs Théorème de définition par récurrence Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Sommes, produits et puissances La demi-droite achevée et les sommes positives Suites, séries et parties compactes de ℂ La fonction zêta de Riemann et son prolongement Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités