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Centrale-Supélec PSI 2013 — Maths 1

Fonctions de Bessel comme coefficients de Fourier de $e^{ix\sin t}$ · 4 pages

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Le sujet définit $\varphi_n(x)$ comme les coefficients de Fourier exponentiels de $t \mapsto e^{ix\sin t}$ et retrouve les fonctions de Bessel de première espèce : parité, égalité de Parseval, développement en série entière et relation de dérivation. Il montre ensuite que $\varphi_n$ est solution de l'équation de Bessel $x^2y'' + xy' + (x^2 - n^2)y = 0$ , en déduit son comportement asymptotique en $\alpha_n\cos(x - \beta_n)/\sqrt{x}$ et, par un argument de comparaison de Sturm, que ses zéros forment une suite tendant vers l'infini dont les écarts sont asymptotiquement majorés par $\pi/c$ pour tout $c$ dans $\left]0, 1\right[$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Questions préliminaires p. 1

Séries de Fourier · Fonctions de Bessel · Formule de Parseval · Convergence des séries de Fourier — coefficients de Fourier exponentiels, décroissance rapide des coefficients, égalité de Parseval, fonctions de Bessel, parité

Partie II — Forme intégrale et développement en série entière p. 1–2

Séries entières · Fonctions de Bessel · Séries alternées · Interversion des limites · Coefficients binomiaux · Informatique et algorithmique — développement en série entière, rayon de convergence, formule d'Euler, majoration du reste, critère spécial des séries alternées, calcul approché

Partie III — Équation différentielle et étude de $\varphi_n$ quand $x \to +\infty$ p. 2–3

Équations linéaires d'ordre 2 · Fonctions de Bessel · Développements asymptotiques · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Équations différentielles linéaires — équation de Bessel, variation des constantes, zéros isolés, inégalité différentielle, comportement asymptotique, changement de fonction inconnue

Partie IV — Étude des zéros de $\varphi_n$ p. 4

Équations linéaires d'ordre 2 · Fonctions de Bessel · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Continuité — théorème de comparaison de Sturm, wronskien, zéros d'une solution, suite des zéros, premier zéro de $J_0$

Dans l'édifice

Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites, séries et parties compactes de ℂ Ensembles finis et principe des tiroirs Théorème de définition par récurrence Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Dérivabilité Théorème de Cauchy-Lipschitz local Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine