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Centrale-Supélec PSI 2020 — Maths 1

Gestion des erreurs dans un processus industriel · 6 pages

Le sujet cherche à montrer que la probabilité $P(S_n > nam)$ que le nombre cumulé d'erreurs dépasse $a$ fois sa moyenne décroît exponentiellement. Il traite d'abord le cas de variables de Poisson indépendantes de paramètre $1/2$ , avec un équivalent de $P(S_n > n)$ obtenu via la formule de Stirling, puis démontre partiellement le théorème de Perron-Frobenius pour les matrices strictement positives, et l'applique à une chaîne de Markov pour établir une majoration de type Chernoff $P(S_n \geqslant nam) \leqslant \exp(-n(\lambda^*(am) - \varepsilon))$ , avec une illustration numérique en Python.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Cas de la loi de Poisson p. 1–2

Loi de Poisson · Fonctions génératrices · Formule de Stirling · Convergence uniforme et normale · Équivalents et comparaison · Couples et sommes de variables aléatoires · Interversion des limites — somme de variables de Poisson indépendantes, fonction génératrice, convergence normale, formule de Stirling, équivalent d'une probabilité, décroissance exponentielle

Partie II — Quelques résultats sur les matrices (théorème de Perron-Frobenius) p. 2–3

Théorème de Perron-Frobenius · Rayon spectral · Diagonalisation · Trigonalisation · Suites numériques — matrice strictement positive, rayon spectral, valeur propre dominante, vecteur propre strictement positif, convergence des puissances de matrices, projecteur spectral, méthode de la puissance

Partie III.A–B — Chaîne de Markov et fonction de taux p. 4

Chaînes de Markov · Grandes déviations · Théorème de Perron-Frobenius · Espérance, variance, moments — chaîne de Markov homogène, matrice de transition, loi de $X_n$ , fonction génératrice des moments, valeur propre dominante, limite de $\ln E(e^{tS_n})/n$

Partie III.C — Programmes Python p. 5

Informatique et algorithmique · Rayon spectral — Python, numpy, exponentiation rapide, puissances $2^k$ d'une matrice, quotient de traces

Partie III.D–E — Majoration de Chernoff et application numérique p. 5–6

Grandes déviations · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Lois des grands nombres · Convergence uniforme et normale — inégalité de Markov, borne de Chernoff, transformée de Legendre, fonction de taux, convergence uniforme, estimation numérique

Dans l'édifice

Lois de Poisson et loi exponentielle Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Intégrale de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites réelles et limites Indépendance d'événements et de tribus Une série entière est holomorphe Matrices d'une application linéaire Applications linéaires continues et dual topologique Spectre premier d'un anneau Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Espérance, variance et inégalités Théorème de définition par récurrence Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres