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Centrale-Supélec PSI 2026 — Maths 1

Obtention de piles successifs lors de lancers d'une pièce · 4 pages

On étudie le rang $X_n$ du premier lancer où l'on obtient $n$ piles consécutifs avec une pièce de paramètre $p$ . Les cas $n = 1$ et $n = 2$ se traitent par récurrence linéaire et série entière, le cas $n = 3$ par réduction d'une matrice $3 \times 3$ qui donne un équivalent géométrique de $P(X_3 = k)$ , et le cas général par la fonction génératrice $G_{X_n}(z) = p^n z^n (1 - pz)/(q p^n z^{n+1} - z + 1)$ , dont on tire l'espérance. La dernière partie montre qu'une série d'au moins $n$ piles finit presque sûrement par apparaître et majore la probabilité qu'elle n'apparaisse pas en $k$ lancers.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie A — Les cas où $n = 1$ et $n = 2$ p. 1–2

Loi géométrique · Fonctions génératrices · Suites récurrentes linéaires · Séries entières · Espérance, variance, moments — premier pile, temps d'attente, relation de récurrence linéaire d'ordre 2, rayon de convergence, espérance et variance

Partie B — Le cas où $n = 3$ p. 2

Diagonalisation · Suites récurrentes linéaires · Racines et relations coefficients-racines · Conditionnement et indépendance · Équivalents et comparaison · Nombres complexes — système complet d'événements, polynôme caractéristique, matrice diagonalisable dans $\mathbb{C}$ , valeur propre dominante, équivalent géométrique

Partie C — L'étude générale par le calcul de la fonction génératrice p. 3

Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments · Séries entières · Fractions rationnelles — fonction génératrice, $n$ piles consécutifs, espérance du temps d'attente, décomposition en éléments simples

Partie D — Obtenir une succession de piles à la suite de lancers d'une pièce p. 3–4

Suites récurrentes linéaires · Espaces probabilisés · Informatique et algorithmique · Suites numériques — série de piles consécutifs, récurrence d'ordre $n$ , événement presque sûr, fonction Python, majoration géométrique

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Séries entières et rayon de convergence Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Espérance, variance et inégalités Anneaux de polynômes Indépendance d'événements et de tribus Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Corps des fractions d'un anneau intègre Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Théorème de définition par récurrence Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ