AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech MP 2012 — Maths 2

Projecteurs orthogonaux, déterminants par blocs et une courbe plane · 5 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Trois exercices indépendants. Le premier montre que le composé de deux projecteurs orthogonaux est diagonalisable à valeurs propres dans $[0, 1]$ et majore sa trace par le rang. Le second établit $\det(M) = \det(AD - CB)$ pour une matrice par blocs quand $A$ et $C$ commutent, caractérise le caractère défini positif d'une matrice par blocs symétrique et étudie une suite récurrente de matrices complexes. Le troisième construit une courbe plane à partir d'un cercle tangent à deux droites, calcule une aire et étudie son image par l'inversion $z \mapsto 1/\bar{z}$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Projecteurs orthogonaux p. 2–3

Projecteurs et trace · Théorème spectral · Sous-espaces stables · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Diagonalisation — projecteur orthogonal, adjoint, endomorphisme autoadjoint, produit de deux projecteurs, trace d'un projecteur, orthogonal d'une somme

Exercice II — Déterminants de matrices par blocs p. 3–4

Matrices par blocs · Déterminants · Matrices symétriques positives · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Théorème spectral — complément de Schur, matrices qui commutent, polynôme caractéristique, matrice définie positive, matrice symétrique positive, suite de matrices par blocs

Exercice III — Une courbe plane et l'inversion p. 5

Géométrie affine et euclidienne · Courbes et surfaces · Nombres complexes · Intégrales généralisées et intégrabilité · Coniques et quadriques — cercle tangent, courbe paramétrée, asymptote, point stationnaire, aire entre une courbe et son asymptote, inversion, cissoïde, parabole

Dans l'édifice

Applications linéaires Théorème du rang Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Espaces vectoriels et sous-espaces Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann