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e3a-Polytech MP 2013 — Mathématiques

Deux suites récurrentes doubles et normes matricielles · 8 pages

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Le sujet étudie les suites définies par $u_{n+2} = 2/(u_{n+1} + u_n)$ et $v_{n+2} = 1/\sqrt{v_{n+1}v_n}$ avec des termes initiaux strictement positifs. Pour $v$ , le passage au logarithme ramène à une récurrence linéaire d'ordre deux et donne la convergence vers $1$ . Pour $u$ , il construit des normes $\|PZ\|_\infty$ adaptées, montre que le rayon spectral est la borne inférieure des normes subordonnées associées, choisit $P$ pour que la norme de la jacobienne au point fixe $(1, 1)$ soit égale à son rayon spectral $\sqrt{2}/2$ , en déduit une convergence locale géométrique, puis obtient la convergence globale par un argument sur les valeurs d'adhérence.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude de la suite $(v_n)$ p. 2

Suites récurrentes linéaires · Suites numériques · Séries numériques · Nombres complexes — suite récurrente double, passage au logarithme, équation caractéristique, base de l'espace des suites récurrentes, nature d'une série

Partie II — Étude de normes matricielles p. 2–3

Normes subordonnées et applications linéaires continues · Rayon spectral · Trigonalisation · Diagonalisation · Matrices remarquables — norme subordonnée, norme infinie, rayon spectral, norme adaptée à une matrice, matrice non diagonalisable, convergence de la suite des puissances $A^n$

Partie III — Étude de la suite $(u_n)$ p. 4

Calcul différentiel · Points fixes et suites itératives · Suites numériques · Rayon spectral · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Séries numériques — matrice jacobienne, point fixe attractif, inégalité des accroissements finis, convergence géométrique, contraction locale

Partie IV — Suite de l'étude p. 4–5

Suites numériques · Compacité — valeur d'adhérence, suite extraite, limite inférieure et supérieure, Bolzano-Weierstrass, convergence globale

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Applications linéaires continues et dual topologique Spectre premier d'un anneau Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Compacité