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e3a-Polytech MP 2014 — Maths 2

Endomorphismes de carré nul, développement asymptotique d'intégrales et heptagone régulier · 5 pages

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Le premier exercice étudie les endomorphismes $u$ tels que $u^2 = 0$ et montre que le produit de $m$ tels endomorphismes commutant deux à deux est nul dès que $n < 2^m$ . Le deuxième établit un développement asymptotique $u_n = \alpha/n + \beta/n^2 + o(1/n^2)$ de $u_n = \int_0^1 x^n/\sqrt{1+x} \,\mathrm{d}x$ , puis un développement à tout ordre en $1/n$ de $\int_0^1 x^n g(x) \,\mathrm{d}x$ pour $g$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ , par intégrations par parties successives. Le troisième étudie l'hyperbole équilatère $x^2 - y^2 + ax + by = 1/2$ et montre, avec $\omega = e^{2i\pi/7}$ et $p = \omega + \omega^2 + \omega^4$ , que $1, \omega, \omega^2, \omega^4$ sont exactement ses points d'intersection avec le cercle unité ; la réunion de la conique et de sa symétrique par rapport à $Ox$ recoupe alors le cercle aux sept sommets de l'heptagone régulier.

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Endomorphismes de carré nul p. 2

Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Applications linéaires et rang · Espaces préhilbertiens et euclidiens — endomorphisme de carré nul, endomorphismes qui commutent, noyau et image stables, théorème du rang, orthogonal de l'image, transposée

Exercice II — Développement asymptotique d'une suite d'intégrales p. 3

Développements asymptotiques · Intégrale sur un segment · Convergence dominée · Convergence uniforme et normale · Équivalents et comparaison — théorème de convergence dominée, intégration par parties, développement asymptotique, suite d'intégrales, convergence simple, équivalent

Exercice III — Conique et heptagone régulier p. 4

Coniques et quadriques · Nombres complexes · Racines et relations coefficients-racines · Géométrie affine et euclidienne — hyperbole équilatère, centre de symétrie, racines septièmes de l'unité, heptagone régulier, périodes de Gauss, relations coefficients racines

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Théorème du rang Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de convergence dominée Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites réelles et limites Espaces vectoriels et sous-espaces Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes