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e3a-Polytech MP 2026 — Mathématiques

Trois exercices : opérateur de translation, une intégrale et $\zeta(2)$ , fonction génératrice des cumulants · 4 pages

Le premier exercice étudie l'endomorphisme $P \mapsto P(X+1)$ de $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ , dont la matrice est formée de coefficients binomiaux : il n'est pas diagonalisable et $u - \mathrm{Id}$ est nilpotent, ce qui fournit une relation linéaire entre les $P(X+k)$ . Le deuxième calcule $\int_0^\infty \frac{\sin(at)}{e^t - 1}\,\mathrm{d}t$ par intégration terme à terme, en déduit un développement en série entière faisant intervenir $\zeta(2n+2)$ puis la valeur $\int_0^1 \frac{\ln t}{t-1}\,\mathrm{d}t = \pi^2/6$ . Le troisième étudie $\Phi_X(t) = (1/t) \ln \mathbb{E}(e^{tX})$ pour une variable finie : $\Phi(0) = \mathbb{E}(X)$ , $\Phi'(0) = \operatorname{V}(X)/2$ , limites en $\pm\infty$ et additivité pour des variables indépendantes.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — L'endomorphisme $P \mapsto P(X+1)$ p. 2

Nilpotents, Jordan, Dunford · Coefficients binomiaux · Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Polynômes — opérateur de translation, formule du binôme, matrice de Pascal, endomorphisme non diagonalisable

Exercice 2 — Une intégrale à paramètre et $\zeta(2)$ p. 3

Interversion des limites · Intégrales à paramètre · Fonction zêta de Riemann · Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégration terme à terme, fonction zêta, développement en série entière, valeur de $\zeta(2)$

Exercice 3 — Fonction génératrice des cumulants p. 4

Espérance, variance, moments · Développements limités · Variables aléatoires et lois usuelles — fonction génératrice des moments, variance, variables indépendantes, prolongement par continuité

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Ensembles finis et principe des tiroirs Applications linéaires Anneaux de polynômes Une série entière est holomorphe Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée La fonction zêta de Riemann et son prolongement Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espérance, variance et inégalités Dérivabilité Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle