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e3a-Polytech MPI 2026 — Mathématiques

Trois exercices : collectionneur et convexité, cotangente et zêta, matrices en flèche · 8 pages

Le premier exercice minimise, sous la contrainte $x_1 + \dots + x_r = 1$ , l'espérance $\sum (1 - x_j)^n$ du nombre de résultats non obtenus après $n$ épreuves, à l'aide du calcul différentiel (points critiques, hessienne) puis de l'inégalité de Jensen, le minimum étant atteint exactement pour $x_j = 1/r$ . Le deuxième étudie $E_1(x) = 1/x + \sum (1/(x-n) + 1/(x+n))$ et les fonctions $E_k$ , liées par $E_k' = -k E_{k+1}$ , et établit pour $0 < |x| < 1$ le développement $E_1(x) = 1/x - 2\sum \zeta(2s) x^{2s-1}$ et son analogue pour $E_k$ . Le troisième réduit les matrices symétriques « en flèche » et caractérise, dans le cas complexe, celles qui ne sont pas diagonalisables.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Résultats non obtenus et convexité p. 2–3

Inégalité de Jensen · Points critiques et hessienne · Espérance, variance, moments · Matrices symétriques positives · Fonctions convexes · Variables aléatoires et lois usuelles — inégalité de Jensen, hessienne, minimisation sous contrainte, variables de Bernoulli, matrice de $1$ , matrice définie positive

Exercice 2 — Développement de la cotangente et fonction zêta p. 3–4

Séries entières · Fonction zêta de Riemann · Suites et séries de fonctions · Familles sommables et produit de Cauchy · Interversion des limites — fonction zêta, développement eulérien de la cotangente, série double, dérivation terme à terme, fonction périodique

Exercice 3 — Matrices en flèche p. 4–5

Diagonalisation · Matrices remarquables · Théorème spectral · Applications linéaires et rang — matrice en flèche, matrice symétrique réelle, rang, polynôme caractéristique, matrice symétrique complexe

Dans l'édifice

Dérivabilité Applications différentiables Espérance, variance et inégalités Espaces de Hilbert et théorème de projection Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques La fonction zêta de Riemann et son prolongement Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes La demi-droite achevée et les sommes positives Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Théorème du rang