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e3a-Polytech PC 2013 — Maths 2

Décomposition de Cholesky, intégrale de Dirichlet et parabole · 8 pages

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Le premier exercice établit l'existence et l'unicité de la décomposition de Cholesky $S = {}^t\!T\, T$ d'une matrice symétrique définie positive, avec $T$ triangulaire supérieure à diagonale strictement positive, via l'orthonormalisation de Schmidt pour le produit scalaire défini par $S$ , après un exemple $3\times 3$ . Le deuxième étudie $g(t) = (1 - e^{-t})/t$ puis $h(x) = \int (1 - e^{-xt})/t \,\sin t \,\mathrm{d}t$ , montre que $h = \operatorname{Arctan}$ et en déduit que l'intégrale de Dirichlet vaut $\pi/2$ . Le troisième étudie la parabole de foyer $F$ et de directrice $\mathcal{D}$ (tangente, normale, repère de Frenet, rayon et centre de courbure) puis trace une courbe paramétrée avec point stationnaire et branche infinie.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Décomposition de Cholesky p. 2–3

Matrices symétriques positives · Procédé de Gram-Schmidt · Théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations · Espaces préhilbertiens et euclidiens — décomposition de Cholesky, matrice symétrique définie positive, matrice triangulaire supérieure, orthonormalisation de Schmidt, matrice de passage, matrice ${}^t\!A\, A$

Exercice 2 — Intégrale de Dirichlet par une intégrale à paramètre p. 4

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions spéciales · Séries entières · Développements limités — intégrale de Dirichlet, dérivation sous le signe intégrale, intégrale impropre, intégration par parties, $\operatorname{Arctan}$ , développement en série entière

Exercice 3 — Parabole et courbe paramétrée p. 5

Coniques et quadriques · Courbes et surfaces · Géométrie affine et euclidienne — parabole, foyer et directrice, tangente et normale, repère de Frenet, rayon de courbure, centre de courbure, point stationnaire, branche infinie

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Théorème de représentation de Riesz Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann La fonction zêta de Riemann et son prolongement Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Dérivabilité Espaces vectoriels et sous-espaces Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété