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e3a-Polytech PC 2017 — Mathématiques

Fonction zêta, matrices de rang 1, loi de Poisson et nombres premiers en Python · 5 pages

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Épreuve en quatre exercices indépendants. Le premier étudie la fonction $\zeta$ sur $\left]1, +\infty\right[$ (classe $\mathcal{C}^\infty$ , limite $1$ en $+\infty$ , équivalent $1/(x-1)$ en $1$ par comparaison série-intégrale) et la série alternée $F(x) = \sum (-1)^n/n^x$ , reliée par $\zeta(x) + F(x) = 2^{1-x} \zeta(x)$ . Le deuxième montre qu'une matrice de rang 1 vérifie $A^2 = \operatorname{tr}(A)A$ et est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle ; le troisième majore les queues d'une loi de Poisson et compare la loi binomiale $\mathcal{B}(n, \lambda/n)$ à la loi de Poisson ; le quatrième programme en Python le comptage des nombres premiers.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — La fonction zêta p. 2

Fonction zêta de Riemann · Convergence uniforme et normale · Comparaison série-intégrale · Interversion des limites · Séries alternées · Équivalents et comparaison — fonction zêta de Riemann, convergence normale, dérivation terme à terme, classe $\mathcal{C}^\infty$ , équivalent en $1$ , série alternée

Exercice 2 — Matrices de rang 1 p. 3

Diagonalisation · Applications linéaires et rang · Matrices remarquables · Calcul matriciel — matrice de rang 1, produit colonne-ligne, trace, polynôme annulateur, endomorphisme de rang 1, éléments propres

Exercice 3 — Loi de Poisson p. 4

Loi de Poisson · Espérance, variance, moments · Lois de Bernoulli et binomiale · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Séries numériques — loi de Poisson, moment d'ordre 2, queue de distribution, inégalité de Markov, approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, somme des $P(X \geqslant i)$

Exercice 4 — Nombres premiers en Python p. 5

Informatique et algorithmique · Nombres premiers · Théorie analytique des nombres · Équivalents et comparaison — Python, test de primalité, fonction de compte des nombres premiers, théorème des nombres premiers, infinité des nombres premiers, suites équivalentes

Dans l'édifice

La fonction zêta de Riemann et son prolongement Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Intégrale de Riemann Une série entière est holomorphe Suites, séries et parties compactes de ℂ Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Théorème du rang Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de définition par récurrence Théorème fondamental de l'arithmétique Théorie analytique des nombres Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Le théorème des nombres premiers