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e3a-Polytech PC 2017 — Maths 2

Exponentielle intégrale, opérateur $T$ et équation $xy'' + y' - (x + 1)y = 1$ · 5 pages

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La partie I étudie $S(x) = \int_0^x (1 - e^{-t})/t \,\mathrm{d}t$ et $R(x) = \int_x^\infty e^{-t}/t \,\mathrm{d}t$ (développement en série entière, relation $S(x) = R(x) + \ln x + \gamma$ , expression de $\gamma$ comme limite et comme $-\int_0^\infty \ln(t) e^{-t} \,\mathrm{d}t$ , intégrales de Frullani). La partie II étudie l'opérateur $T(P)(x) = \int_0^\infty e^{-t} P(x + t) \,\mathrm{d}t$ sur les polynômes, où $T = \sum D^k$ , puis sur les fonctions continues bornées et sur $\operatorname{Vect}(\cos, \sin)$ . La partie III résout l'équation $xy'' + y' - (x + 1)y = 1$ par série entière et par changement de fonction, et exprime ses solutions à l'aide de $R$ et $S$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Fonctions $S$ et $R$ , constante d'Euler p. 2

Intégrales à paramètre · Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence uniforme et normale · Fonctions spéciales · Comparaison série-intégrale — exponentielle intégrale, constante d'Euler, développement en série entière, intégrale de Frullani, intégration par parties, convergence uniforme

Partie II — L'opérateur $T$ p. 3

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Intégrales généralisées et intégrabilité · Fonctions Gamma et Bêta · Nilpotents, Jordan, Dunford · Équations différentielles linéaires · Dérivabilité — endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ , formule de Taylor pour les polynômes, opérateur de dérivation, fonctions continues bornées, éléments propres, matrice dans la base $(\cos, \sin)$

Partie III — Une équation différentielle p. 4

Équations linéaires d'ordre 2 · Séries entières · Équations différentielles linéaires · Intégrales à paramètre — solution développable en série entière, relation de récurrence sur les coefficients, changement de fonction inconnue, variation de la constante, solutions bornées en $0$

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes La fonction zêta de Riemann et son prolongement Intégrale de Riemann Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Dérivabilité