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e3a-Polytech PSI 2012 — Mathématiques

Suites récurrentes linéaires et suites périodiques · 5 pages

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Après des questions de cours en vrai/faux sur les suites vérifiant $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ et sur des rayons de convergence (coefficients $n^n/n!$ et $\sin(n)/n$ ), le problème étudie l'espace des suites telles que $u_{n+2} + u_n = 0$ , puis celui des suites telles que $u_{n+2} + u_n = 2a$ : base, périodicité de période 4, sommes de séries entières associées et endomorphisme induit par l'extraction $u_n$ donne $u_{3n}$ , qui est une symétrie. La dernière partie généralise à $u_{n+p} + u_n = 2a$ , montre la périodicité de période $2p$ et étudie une matrice de type compagnon ainsi que l'opérateur de décalage sur cet espace.

Le sujet, partie par partie

Questions d'applications du cours p. 2–3

Suites récurrentes linéaires · Séries entières · Applications linéaires et rang · Espaces vectoriels et dimension — suites géométriques, équation caractéristique, rayon de convergence, règle de d'Alembert, somme d'une série entière, arctangente

Partie A — Suites vérifiant $u_{n+2} + u_n = 0$ p. 3

Suites récurrentes linéaires · Séries entières · Espaces vectoriels et dimension — suites périodiques, base d'un espace de suites, somme d'une série entière, convergence d'une série

Partie B — Suites vérifiant $u_{n+2} + u_n = 2a$ p. 3–4

Suites récurrentes linéaires · Espaces vectoriels et dimension · Diagonalisation · Projecteurs et trace · Dualité · Sous-espaces stables · Séries entières — forme linéaire, somme directe, isomorphisme, suite périodique de période 4, endomorphisme induit, suite extraite, symétrie, prolongement par continuité

Partie C — Généralisation : $u_{n+p} + u_n = 2a$ p. 4–5

Diagonalisation · Matrices remarquables · Polynômes d'endomorphismes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Nombres complexes · Suites récurrentes linéaires — matrice compagnon, polynôme caractéristique, opérateur de décalage, polynôme annulateur, racines de l'unité, suites périodiques

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Applications linéaires Théorème du rang Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espace dual Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle