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e3a-Polytech PSI 2018 — Maths 2

Un opérateur intégral associé à l'équation $y' - ay + f = 0$ · 5 pages

Pour $f$ continue bornée sur $I = \left[1, +\infty\right[$ , le sujet montre que $U_a(f)(x) = e^{ax} \int_x^{+\infty} e^{-at} f(t) \,\mathrm{d}t$ est l'unique solution bornée de $y' - ay + f = 0$ , puis étudie l'endomorphisme $U_a$ : injectivité, non surjectivité, valeurs propres, sous-espaces stables, positivité, itérées $U_a^n$ et somme de leur série. La deuxième partie montre que $U_a$ préserve les relations de comparaison en $+\infty$ et donne un équivalent de $U_a(h_\omega)$ pour $h_\omega(t) = 1/t^\omega$ ; la troisième étudie l'intégrabilité de $U_a(f)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — L'endomorphisme $U_a$ p. 2–3

Équations différentielles linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Applications linéaires et rang · Réduction des endomorphismes · Sous-espaces stables · Déterminants · Matrices orthogonales et rotations · Suites et séries de fonctions — solution bornée, équation linéaire d'ordre 1, injectivité et surjectivité, valeur propre, sous-espace stable, intégration par parties, série de fonctions

Partie 2 — Comportement asymptotique p. 4

Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries entières · Équations différentielles linéaires — intégration des relations de comparaison, équivalent en $+\infty$ , limite en $+\infty$ , développement en série de l'exponentielle

Partie 3 — Intégrabilité p. 4

Intégrales généralisées et intégrabilité · Équations différentielles linéaires · Intégrale sur un segment — fonction intégrable, intégrale convergente, primitive, fonction positive

Dans l'édifice

Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Suites réelles et limites Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse