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Mines-Ponts MPI 2024 — Maths 1

Généralisation d'une intégrale de Dirichlet et application · 6 pages

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Le sujet calcule d'abord, pour $x$ dans $\left]0, 1\right[$ , l'intégrale $\int_0^{+\infty} t^{x-1}/(1+t)\,\mathrm{d}t = \pi/\sin(\pi x)$ : il montre que $\theta \mapsto e^{ix\theta} \int_0^{+\infty} t^{x-1}/(1+te^{i\theta})\,\mathrm{d}t$ , intégrale à paramètre réel à valeurs complexes, est constante, puis fait tendre $\theta$ vers $\pi$ par convergence dominée. Il en tire le développement $\pi/\sin(\pi x) = 1/x - \sum_{n\geqslant 1} 2(-1)^n x/(n^2 - x^2)$ , puis calcule l'intégrale de Dirichlet généralisée $\int_0^{+\infty} (1 - \cos(t)^{2p+1})/t^2\,\mathrm{d}t = \pi(2p+1)!/(2^{2p+1}(p!)^2)$ . Il l'applique enfin à une marche aléatoire symétrique $S_n = X_1 + \dots + X_n$ : grâce à $E(\cos(tS_n)) = \cos(t)^n$ , il exprime $E(|S_n|)$ par une intégrale et obtient $E(|S_{2n}|) = E(|S_{2n-1}|) = (2n-1)!/(2^{2n-2}((n-1)!)^2)$ .

Le sujet, partie par partie

Partie I — Calcul d'une intégrale p. 2–3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence dominée · Nombres complexes — intégrale à paramètre à valeurs complexes, dérivation sous l'intégrale, théorème de convergence dominée, intégrale de $t^{x-1}$ sur $1+t$ , formule des compléments

Partie II — Une expression (utile) de la fonction sinus p. 3–4

Interversion des limites · Séries numériques · Séries alternées · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégration terme à terme, série alternée, développement de $\pi/\sin(\pi x)$ en série de fractions rationnelles, développement de $1/\sin$ en éléments simples

Partie III — Calcul d'une intégrale de Dirichlet généralisée p. 4–5

Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrale sur un segment · Interversion des limites · Coefficients binomiaux · Nombres complexes · Fonctions spéciales — intégrale de Dirichlet, intégration par parties, découpage de l'intégrale, linéarisation de $\cos^{2p}$ , coefficients binomiaux

Partie IV — Calcul de $E(|S_n|)$ p. 5–6

Espérance, variance, moments · Marches aléatoires · Couples et sommes de variables aléatoires · Intégrales généralisées et intégrabilité — variables de Rademacher, marche aléatoire symétrique, espérance de $\cos(tS_n)$ , variables indépendantes, espérance de la valeur absolue

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Une série entière est holomorphe Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Ensembles finis et principe des tiroirs La fonction zêta de Riemann et son prolongement Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus