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Mines-Ponts PC 2013 — Maths 1
Le sujet montre d'abord, à l'aide des matrices de Householder , que toute matrice symétrique réelle est orthogonalement semblable à une matrice tridiagonale, puis que les matrices de Jacobi à coefficients sous-diagonaux non nuls ont des valeurs propres simples. Il étudie ensuite le système différentiel de Toda (paire de Lax), montre que le flot est isospectral grâce à une matrice orthogonale , puis, par une loi de conservation, que les coefficients diagonaux tendent vers les valeurs propres rangées dans l'ordre décroissant, à vitesse exponentielle.
Le sujet, partie par partie
Partie 1 — Tridiagonalisation p. 2
Matrices orthogonales et rotations · Matrices par blocs · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Projection orthogonale et moindres carrés — matrice de Householder, réflexion orthogonale, matrice tridiagonale, similitude orthogonale, algorithme de tridiagonalisation
Partie 2 — Matrices de Jacobi p. 3
Théorème spectral · Réduction des endomorphismes · Matrices remarquables — matrice de Jacobi, matrice tridiagonale symétrique, valeurs propres simples, sous-espaces propres de dimension 1
Partie 3 — Paires de Lax p. 3–4
Systèmes différentiels linéaires · Matrices orthogonales et rotations · Théorème de Cauchy-Lipschitz · Équations différentielles non linéaires · Calcul matriciel — paire de Lax, système de Toda, flot isospectral, matrice antisymétrique, solution orthogonale, équation différentielle matricielle
Partie 4 — Étude asymptotique p. 4–5
Équations différentielles non linéaires · Intégrales généralisées et intégrabilité · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Théorème spectral · Continuité — intégrale première, loi de conservation, fonctions intégrables, polynôme caractéristique, convergence exponentielle, valeurs propres ordonnées