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Mines-Ponts PSI 2022 — Maths 2

Matrices de Hurwitz · 7 pages

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Le sujet relie, pour le système différentiel $X' = MX$ avec $M$ réelle semi-simple (diagonalisable dans $\mathbb{C}$ ), le comportement des solutions en $+\infty$ et la localisation des valeurs propres. Il montre qu'une matrice semi-simple est semblable sur $\mathbb{R}$ à une matrice presque diagonale (blocs $2\times 2$ ), qu'un endomorphisme complexe est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace admet un supplémentaire stable, puis étudie les polynômes de Hurwitz (racines de partie réelle strictement négative). Il conclut à l'équivalence entre « $\chi_M$ est de Hurwitz », « toutes les solutions tendent vers $0$ » et « les solutions décroissent exponentiellement ».

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Matrices semi-simples p. 2–4

Diagonalisation · Réduction des endomorphismes · Nombres complexes · Matrices par blocs — matrice semi-simple, diagonalisable dans $\mathbb{C}$ , matrice presque diagonale, similitude réelle, valeurs propres complexes conjuguées

Partie 2 — Une caractérisation des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ p. 4–5

Diagonalisation · Sous-espaces stables · Espaces vectoriels et dimension — supplémentaire stable, sous-espace stable, base de vecteurs propres

Partie 3 — Polynômes de Hurwitz p. 5–6

Racines et relations coefficients-racines · Polynômes · Nombres complexes — polynôme de Hurwitz, polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ , coefficients strictement positifs, localisation des racines

Partie 4 — Système différentiel de matrice associée semi-simple p. 6–7

Systèmes différentiels linéaires · Stabilité des équilibres · Diagonalisation · Nombres complexes · Espaces préhilbertiens et euclidiens — système différentiel linéaire, $X' = MX$ , stabilité asymptotique, décroissance exponentielle, polynôme de Hurwitz

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Applications linéaires Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Anneaux de polynômes Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Flot d'un champ de vecteurs Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz