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X-ENS MP 2011 — Maths C

Diffusion sur des ensembles finis · 7 pages

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Le sujet étudie le système différentiel $u' = (P - \mathrm{Id})u$ associé à une matrice $P$ symétrique, bistochastique et irréductible, et sa convergence vers le vecteur uniforme. La constante de Poincaré (trou spectral de $\mathrm{Id} - P$ ) donne la décroissance exponentielle de l'énergie $\|u(t) - \pi\|^2$ , la constante de Sobolev logarithmique celle de l'entropie $H(u) = \sum u_i \ln u_i / N$ , reliée à la variation totale par une inégalité de type Pinsker ; l'exemple de l'hypercube $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^d$ est traité par transformée de Fourier (Walsh) et donne la constante de Poincaré $2/d$ .

Le sujet, partie par partie

Préambule, rappels et Partie 1 — Énergie et inégalité de trou spectral p. 1–4

Matrices stochastiques et bistochastiques · Inégalités fonctionnelles · Systèmes différentiels linéaires · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Théorème de Perron-Frobenius · Semi-groupes et générateurs · Inégalité de Jensen — matrice bistochastique symétrique, matrice irréductible, valeur propre simple, forme de Dirichlet, constante de Poincaré, trou spectral, décroissance exponentielle

Partie 2 — Entropie et inégalité de Sobolev p. 4–5

Entropie et théorie de l'information · Inégalités fonctionnelles · Inégalité de Jensen · Semi-groupes et générateurs · Exponentielle de matrices · Développements limités · Inégalité de Cauchy-Schwarz — entropie, inégalité de Sobolev logarithmique, constante de Sobolev, exponentielle de matrice à coefficients positifs, variation totale, inégalité de Pinsker, inégalité de Jensen

Partie 3 — Exemple de l'hypercube $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^d$ p. 6–7

Théorie spectrale des graphes · Représentations des groupes finis · Inégalités fonctionnelles · Transformées de Fourier et de Laplace · Chaînes de Markov · Matrices stochastiques et bistochastiques — hypercube, transformée de Fourier sur $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^d$ , formule d'inversion, formule de Plancherel, marche aléatoire sur l'hypercube, constante de Poincaré, temps de mélange

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Dérivabilité Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Groupes Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Indépendance d'événements et de tribus