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X-ENS MP 2022 — Maths C

Séries entières formelles, série réciproque et linéarisation · 7 pages

Le sujet étudie l'algèbre des séries entières formelles munie du produit de Cauchy et de la composition, avec la relation de majoration terme à terme des modules, et montre que composée et série réciproque d'une série de rayon strictement positif ont encore un rayon strictement positif (méthode des séries majorantes). Il traite ensuite le problème de linéarisation : pour $f = \lambda z + F$ avec $\lambda$ non racine de l'unité, il existe une unique série $h = z + H$ telle que $h^\dagger \circ f \circ h = \lambda z$ ; son rayon est strictement positif dans le cas hyperbolique $|\lambda| \neq 1$ , et dans le cas elliptique $|\lambda| = 1$ un schéma itératif à convergence rapide minore le rayon de $h$ par une quantité $r_\infty$ dépendant de $\lambda$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et A — Premières propriétés p. 3–4

Séries entières · Séries formelles — rayon de convergence, produit de Cauchy, majoration des coefficients, séries entières formelles

B — Composition p. 4

Séries formelles · Séries entières · Familles sommables et produit de Cauchy — composition de séries entières, substitution, associativité de la composition, série sans terme constant

C — Série majorante p. 4–5

Séries entières · Séries formelles — méthode des séries majorantes, série majorante, récurrence sur les coefficients, fonction développable en série entière

D — Série réciproque p. 5

Séries formelles · Séries entières · Inversion locale et fonctions implicites · Inégalités classiques — série réciproque, inversion formelle, rayon de convergence strictement positif, troncature

E–F — Linéarisation formelle et cas hyperbolique p. 5–6

Séries formelles · Séries entières · Nombres complexes · Stabilité des équilibres — linéarisation, conjugaison de séries, racine de l'unité, cas hyperbolique, théorème de Koenigs

G — Linéarisation, cas elliptique p. 6–7

Séries entières · Séries formelles · Suites numériques · Nombres complexes · Stabilité des équilibres — petits diviseurs, cas elliptique, schéma itératif à convergence rapide, problème du centre de Siegel

Dans l'édifice

Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Anneaux de polynômes La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème d'inversion locale Forme locale des submersions et fonctions implicites Sous-variétés de ℝⁿ Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Flot d'un champ de vecteurs Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ