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X-ENS MP 2026 — Maths D

Approximations probabilistes · 8 pages

Le sujet développe la méthode de Chen-Stein : l'opérateur $L_\lambda f(n) = \lambda f(n+1) - n f(n)$ caractérise la loi de Poisson et permet de majorer la distance en variation totale entre une somme de Bernoulli (indépendantes ou non) et une loi de Poisson. Il établit ensuite des inégalités de concentration par paires échangeables et les applique aux sommes de variables bornées, aux points fixes d'une permutation aléatoire et au modèle de Curie-Weiss.

Le sujet, partie par partie

Préliminaire et Partie 1 — Méthode de Chen-Stein p. 3–5

Loi de Poisson · Lois de Bernoulli et binomiale · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Fonctions génératrices · Inégalités de concentration · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Opérateurs et théorie spectrale — méthode de Stein, distance en variation totale, approximation poissonienne, bornes de Chernoff, variables de Bernoulli dépendantes

Partie 2 — Inégalités de concentration p. 5–6

Inégalités de concentration · Martingales et espérance conditionnelle · Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments — espérance conditionnelle, paire échangeable, inégalité de concentration, fonction génératrice des moments, queue de distribution

Partie 3 — Applications : sommes bornées, permutations, Curie-Weiss p. 6–8

Inégalités de concentration · Groupe symétrique · Modèles de physique statistique · Martingales et espérance conditionnelle · Conditionnement et indépendance · Espérance, variance, moments — points fixes d'une permutation aléatoire, modèle de Curie-Weiss, aimantation, tangente hyperbolique, variables bornées

Dans l'édifice

Lois de Poisson et loi exponentielle Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Séries entières et rayon de convergence Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Espérance conditionnelle Martingales et temps d'arrêt Inégalité maximale de Kolmogorov et Doob Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Groupe symétrique et signature