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X-ENS MPI 2026 — Maths B

Matrices tridiagonales, loi de l'arcsinus et loi du demi-cercle · 6 pages

Le sujet étudie la répartition des valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$ de la matrice tridiagonale $T_n$ , dont la mesure spectrale converge vers la loi de densité $1/(\pi\sqrt{4-x^2})$ , puis compte les valeurs propres de matrices tridiagonales plus générales. Après une démonstration du théorème de Weierstrass, il montre la convergence en probabilité de la mesure spectrale des matrices de Wigner vers la loi du demi-cercle par la méthode des moments.

Le sujet, partie par partie

Préliminaire et première partie — Sommes de Riemann et intégrale p. 2–3

Suites récurrentes linéaires · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Intégrales généralisées et intégrabilité · Lois des grands nombres et théorèmes limites — suite récurrente linéaire d'ordre 2, sommes de Riemann, changement de variable $x = 2\cos\theta$ , moments, convergence en loi

Deuxième partie — Matrices tridiagonales p. 3–5

Matrices remarquables · Diagonalisation · Polynômes de Tchebychev · Déterminants · Coefficients binomiaux · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Suites récurrentes linéaires · Équivalents et comparaison — matrice tridiagonale, polynôme caractéristique, valeurs propres $2\cos(k\pi/(n+1))$ , mesure spectrale, loi de l'arcsinus

Troisième partie — Théorème de Weierstrass p. 5

Théorème de Weierstrass · Approximation des fonctions · Convergence uniforme et normale — théorème de Weierstrass, approximation uniforme, fonction de Heaviside

Quatrième partie — Matrices de Wigner p. 5–6

Matrices et graphes aléatoires · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Partitions et nombres combinatoires · Théorème de Weierstrass · Espérance, variance, moments — matrice de Wigner, loi du demi-cercle, méthode des moments, nombres de Catalan, convergence en probabilité

Dans l'édifice

Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Intégrale de Riemann Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Ensembles finis et principe des tiroirs Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités