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X-ENS PSI 2013 — Maths

Les intégrales $T_m$ et un modèle d'acoustique des gaz raréfiés · 4 pages

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Le sujet étudie les fonctions $T_m(x)$ , intégrales sur $\left]0, +\infty\right[$ de $t^m e^{-(t^2 + x/t)}$ : convergence, continuité, régularité et convexité, relations de récurrence et équation différentielle, développement en série entière de $T_k(1 + x)$ , puis comportement en $O(x^{(m+1)/3} e^{-3(x/2)^{2/3}})$ quand $x$ tend vers l'infini. Il majore ensuite $T_{-1}$ et l'opérateur intégral de noyau $T_{-1}(|x - y|)$ sur $[0, L]$ , et en déduit par un théorème de point fixe l'existence d'une solution à une équation cinétique simplifiée pour $L < 1/20$ .

Le sujet, partie par partie

Questions 1 à 5 — Propriétés des intégrales $T_m$ p. 2–3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries entières · Fonctions Gamma et Bêta · Fonctions convexes · Dérivabilité · Équations différentielles linéaires — intégrale à paramètre, dérivation sous le signe intégrale, relation de récurrence, changement de variable $t = 1/u$ , développement en série entière, dérivabilité à droite

Question 6 — Comportement asymptotique de $T_m$ p. 3

Développements asymptotiques · Intégrales généralisées et intégrabilité · Méthode de Laplace et phase stationnaire · Fonctions convexes — comportement à l'infini, majoration d'intégrale, minimum d'une fonction convexe, notation $O$ , décroissance exponentielle

Questions 7 à 9 — Opérateur intégral et existence par point fixe p. 3–4

Opérateurs et théorie spectrale · Points fixes et suites itératives · Intégrales à paramètre · Espaces vectoriels normés · Équations aux dérivées partielles — opérateur intégral à noyau, norme uniforme, application contractante, équation intégrale, équation cinétique, gaz raréfiés

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Dérivabilité Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Fonctions de classe Cᵏ