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X-ENS PSI 2020 — Maths

Régularisation inf-convolution, fonctions concaves et semi-concaves · 8 pages

Le sujet étudie l'opérateur $T_\varepsilon f(x) = \inf_y \left(f(y) + \|y - x\|^\alpha / \varepsilon\right)$ , qui approche une fonction bornée par des fonctions plus régulières, et relie la convergence uniforme au module de continuité. Il établit la continuité des fonctions concaves sur $\mathbb{R}^d$ et l'existence de surgradients par projection sur un convexe fermé, puis montre qu'une fonction à la fois semi-concave et semi-convexe est de classe $\mathcal{C}^1$ à gradient lipschitzien.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Approximation par des fonctions lipschitziennes p. 3–5

Approximation des fonctions · Convergence uniforme et normale · Continuité · Espaces vectoriels normés — inf-convolution, fonction lipschitzienne, module de continuité, régularisée de Moreau-Yosida, borne inférieure

Partie II — Fonctions concaves p. 5–7

Fonctions convexes · Ensembles convexes · Projection orthogonale et moindres carrés · Compacité · Inégalité de Jensen — fonction concave, inégalité des pentes, projection sur un convexe fermé, hypographe, surgradient, théorème de Bolzano-Weierstrass, dichotomie

Partie III — Fonctions semi-concaves p. 7–8

Fonctions convexes · Calcul différentiel · Continuité — fonction semi-concave, fonction semi-convexe, gradient lipschitzien, dérivées partielles, fonction de classe $\mathcal{C}^1$

Dans l'édifice

Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Dérivabilité Théorème de Hahn-Banach Espaces de Hilbert et théorème de projection Compacité Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis