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Agrégation externe 2021 — Mathématiques générales

Polynômes à valeurs entières et factorielles généralisées · 16 pages

Le sujet étudie les polynômes de $\mathbb{Q}[X]$ à valeurs entières sur un anneau ou une partie $E$ de $\mathbb{Z}$ . Il montre que les polynômes binomiaux $H_k = X(X-1)\cdots(X-k+1)/k!$ forment une base régulière de $\operatorname{Ent}(\mathbb{Z})$ , étend l'existence d'une base régulière aux anneaux principaux (exemple de $\mathbb{Z}[i]$ ), puis introduit les suites $p$ -ordonnées de Bhargava et la factorielle généralisée $k!_E$ , calculée pour les carrés et les puissances de $q$ . Il en déduit des résultats de divisibilité, dont celle de $\prod (a_j - a_i)$ par $1!2!\cdots n!$ , et le nombre de fonctions polynomiales de $E$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et exercices préliminaires p. 3–6

Polynômes · Interpolation polynomiale · Déterminants · Polynômes d'endomorphismes · Corps finis · Congruences et Z/nZ · Diagonalisation — dérivation discrète, polynômes binomiaux, déterminant de Vandermonde, polynôme minimal, fonctions polynomiales sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , polynômes stables sur un corps

Partie I — Polynômes à valeurs entières sur $\mathbb{Z}$ p. 7–9

Polynômes · Arithmétique des entiers · Coefficients binomiaux · Interpolation polynomiale · Anneaux et idéaux · PGCD, Bézout, Gauss — polynômes à valeurs entières, base régulière, polynômes de Hilbert, différences finies, interpolation de Lagrange, éléments inversibles

Partie II — Généralisation à un anneau principal $A$ p. 9

Anneaux et idéaux · Polynômes · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Déterminants — anneau principal, corps des fractions, entiers de Gauss, anneau euclidien, base régulière

Partie III — Polynômes à valeurs entières sur un sous-ensemble de $\mathbb{Z}$ p. 10–12

Nombres p-adiques et valuations · Polynômes · Nombres premiers · Théorème chinois · Anneaux et idéaux · Coefficients binomiaux — valuation $p$ -adique, suite $p$ -ordonnée, factorielle de Bhargava, localisé $\mathbb{Z}_{(p)}$ , coefficients $q$ -binomiaux, formule de Legendre

Partie IV — Conclusions p. 12–13

Arithmétique des entiers · Polynômes · Congruences et Z/nZ · PGCD, Bézout, Gauss · Nombres p-adiques et valuations — contenu d'un polynôme, fonctions polynomiales sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , divisibilité du produit des différences, factorielle généralisée

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Applications linéaires Corps finis Les anneaux ℤ/nℤ Matrices d'une application linéaire Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique Ensembles finis et principe des tiroirs Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Entiers algébriques Anneaux d'entiers des corps quadratiques Entiers de Gauss et théorème des deux carrés Complétude de ℝ