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Agrégation interne 2011 — Épreuve 2

Solutions bornées de $y' + f(y) = h$ et homéomorphismes · 6 pages

Le problème étudie l'opérateur non linéaire $L_f : \varphi \mapsto \varphi' + f\circ\varphi$ de l'espace $BC^1$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ bornées à dérivée bornée vers l'espace $BC^0$ des fonctions continues bornées. Il traite d'abord le cas linéaire $y' + ay = h$ , montre que si $L_f$ est un homéomorphisme alors $f$ l'est aussi, puis prouve la réciproque lorsque $f$ a des taux d'accroissement compris entre deux constantes $m$ et $M$ strictement positives, grâce au théorème du point fixe de Banach. Un exemple, $\varphi' + 2\varphi + \sin^2\varphi = h$ , est étudié en détail, avec l'existence d'une solution bornée périodique attractive lorsque $h = \sin$ .

Le sujet, partie par partie

Présentation et Partie I — Préliminaires p. 2–3

Espaces vectoriels normés · Équations différentielles linéaires · Continuité · Intégrales généralisées et intégrabilité — fonctions continues bornées, norme uniforme, homéomorphisme de $\mathbb{R}$ , fonction strictement monotone, opérateur intégral, solution bornée

Partie II — Le cas linéaire p. 3–4

Équations différentielles linéaires · Espaces vectoriels normés — équation linéaire du premier ordre, solution bornée sur $\mathbb{R}$ , unicité de la solution bornée, homéomorphisme

Partie III — À propos des opérateurs $N_f$ et $L_f$ p. 4

Espaces vectoriels normés · Continuité · Équations différentielles non linéaires — opérateur de composition, continuité d'un opérateur non linéaire, homéomorphisme, uniforme continuité sur un segment

Partie IV — Un problème de point fixe p. 5

Points fixes et suites itératives · Équations différentielles non linéaires · Espaces vectoriels normés · Espaces de Banach et analyse fonctionnelle — point fixe de Banach, application contractante, fonction lipschitzienne, taux d'accroissement, opérateur lipschitzien, espace de Banach

Partie V — Un exemple p. 6

Équations différentielles non linéaires · Stabilité des équilibres · Théorème de Cauchy-Lipschitz — solution maximale, solution périodique, solution bornée, absence d'explosion en temps fini, comportement asymptotique, attraction exponentielle

Dans l'édifice

Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de Hahn-Banach